Conciliación de diferentes definiciones de grupo soluble

Question

Parece que mi nota de clase define el grupo soluble de forma diferente a los demás:

Un grupo finito $G$ se llama solucionable si $H' \neq H$ para cada subgrupo $H$ de $G$ diferente de $\{1\}$ ,

donde $H'$ se llama subgrupo conmutador de $G$ (corrígeme si me equivoco): $$\begin{align} H' :&= [H, H] \\ &= \langle [a, b] \mid a, b \in H \rangle \\ &= \langle a^{-1}b^{-1}ab \rangle. \end{align}$$

Y luego en el mismo texto hay un problema como este:

Demuestre que un grupo finito $G$ es solucionable si y sólo si se cumplen estas dos condiciones:
$(\mathscr C_1): \{1\} = H_0 \lhd H_1 \lhd \ldots \lhd H_{i-1} \lhd H_i \lhd \ldots \lhd H_n = G$ , donde $H_i < G,$ y $i =\{1, 2, \ldots n\}$ ;
$(\mathscr C_2):$ Grupo de factores $H_i/H_{i-1}$ es abeliana.
(Tenga en cuenta que estos $\mathscr C$ son en realidad la definición de grupo soluble de Wikipedia aquí .)

Creo que he terminado de demostrar que si $\mathscr C$ son verdaderos $\Rightarrow G$ es solucionable, pero me cuesta demostrar que si $G$ tiene solución $\Rightarrow \mathscr C$ 's. Cualquier pista o ayuda sería apreciada, gracias por su tiempo.

POST script: ~~~~~~

He estado trabajando en este problema desde que se publicó por primera vez y, después de conseguir un poco de ayuda de "Modded Bear" aquí Soy capaz de poner la primera parte de una solución como esta:

Lemma: Supongamos que $G$ es soluble, entonces (i) cada subgrupo de $G$ es soluble, y (ii) cada grupo de factores de $G$ es solucionable.

(A) Demostrar que si $\mathscr C$ son verdaderos, entonces $G$ es solucionable:
(1) Ya que $\mathscr C_2: H_i/H_{i-1}$ es abeliano, por lo tanto $\forall a, b \in H_i$ tenemos

$$\begin{align} (H_{i-1})a(H_{i-1})b &= (H_{i-1})b(H_{i-1})a \tag{1}\\ (H_{i-1})ab &= (H_{i-1})ba \tag{2}\\ ab(ba)^{-1}(H_{i-1}) &= (H_{i-1}) \tag{3}\\ \underbrace{aba^{-1}b^{-1}}_{\in \ H'_{i}} &\in (H_{i-1}) \tag{4}\\ \therefore \forall x \in H'_{i} &\rightarrow x \in H_{i-1} \tag{5}\\ H'_{i} &< H_{i-1} \tag{6}\\ \because H_{i-1} < H_{i} &\rightarrow H'_{i-1} < H'_{i}\tag{7}\\ \therefore H'_{i-1} &\neq H_{i-1} \tag{8} \end{align}$$ (2) Con un análisis similar, podemos derivar fácilmente $H'_{i} \neq H_{i}$ para cada subgrupo de $G$ Por lo tanto, según la definición $G$ se puede resolver como se desea. $\blacksquare$

(B) Demostrar que si $G$ tiene solución, entonces $\mathscr C$ son verdaderos:

(1) ...
(2) ...

Answer 1

Para la parte (b), el objetivo es demostrar que si $G$ es un grupo finito con la propiedad de que $H' < H$ para cada subgrupo $H$ entonces hay una serie subnormal $$1 = H_0 \lhd H_1 \lhd \cdots \lhd H_n = G$$ donde los grupos de factores $H_{i+1}/H_i$ son todos abelianos. (Esta es una de las definiciones de grupo soluble).

Para empezar, pruebe a configurar $H_{n-1} = G'$ . Entonces $G' < G$ (por la propiedad dada) y $G' \lhd G$ (de hecho, $G'$ es un subgrupo característico de $G$ ), por lo que $H_{n-1} \lhd H_n$ y por lo tanto $H_n / H_{n-1}$ es un grupo.

Para demostrar que $H_n / H_{n-1}$ es abeliana, necesitamos demostrar que dos elementos cualesquiera $aH_{n-1}$ y $bH_{n-1}$ conmutar, donde $a$ y $b$ son elementos de $H_{n}$ . Así que requerimos $$aH_{n-1} bH_{n-1} = bH_{n-1} aH_{n-1}$$

Esto será cierto si y sólo si $$abH_{n-1} = baH_{n-1}$$ si y sólo si $$a^{-1}b^{-1}abH_{n-1} = H_{n-1}$$ si y sólo si $$a^{-1}b^{-1}ab \in H_{n-1}$$ y esto es, por supuesto, cierto porque $H_{n-1}$ contiene los conmutadores de todos los elementos de $H_n$ . Concluimos que $H_n / H_{n-1}$ es abeliana.

Así que eso se encarga del primer paso de la serie subnormal. Si $H_{n-1}$ resulta ser $1$ entonces hemos terminado. De lo contrario, hay que seguir repitiendo este proceso: dejar que $H_{n-2} = H_{n-1}'$ . Una vez más, $H_{n-1}' < H_{n-1}$ (propiedad dada), y una vez más se quiere demostrar que $H_{n-1}/H_{n-2}$ es abeliano. El mismo argumento anterior funcionará.

Finalmente este proceso debe terminar, porque cada subgrupo es estrictamente más pequeño que el anterior, y $G$ es finito, por lo que eventualmente uno de los subgrupos tendrá que ser $1$ .

Answer 2

La idea para la otra dirección es escoger algunos $H_i$ s garantizando que los grupos factoriales son abelianos. $G'$ parece tentador para $H_{n-1}$ . ¿Ves lo que hay que elegir a continuación, y cómo la solvencia te garantiza que llegarás a $e$ ¿al final?