Parece que mi nota de clase define el grupo soluble de forma diferente a los demás:
Un grupo finito $G$ se llama solucionable si $H' \neq H$ para cada subgrupo $H$ de $G$ diferente de $\{1\}$ ,
donde $H'$ se llama subgrupo conmutador de $G$ (corrígeme si me equivoco): $$\begin{align} H' :&= [H, H] \\ &= \langle [a, b] \mid a, b \in H \rangle \\ &= \langle a^{-1}b^{-1}ab \rangle. \end{align}$$
Y luego en el mismo texto hay un problema como este:
Demuestre que un grupo finito $G$ es solucionable si y sólo si se cumplen estas dos condiciones:
$(\mathscr C_1): \{1\} = H_0 \lhd H_1 \lhd \ldots \lhd H_{i-1} \lhd H_i \lhd \ldots \lhd H_n = G$ , donde $H_i < G,$ y $i =\{1, 2, \ldots n\}$ ;
$(\mathscr C_2):$ Grupo de factores $H_i/H_{i-1}$ es abeliana.
(Tenga en cuenta que estos $\mathscr C$ son en realidad la definición de grupo soluble de Wikipedia aquí .)
Creo que he terminado de demostrar que si $\mathscr C$ son verdaderos $\Rightarrow G$ es solucionable, pero me cuesta demostrar que si $G$ tiene solución $\Rightarrow \mathscr C$ 's. Cualquier pista o ayuda sería apreciada, gracias por su tiempo.
POST script: ~~~~~~
He estado trabajando en este problema desde que se publicó por primera vez y, después de conseguir un poco de ayuda de "Modded Bear" aquí Soy capaz de poner la primera parte de una solución como esta:
Lemma: Supongamos que $G$ es soluble, entonces (i) cada subgrupo de $G$ es soluble, y (ii) cada grupo de factores de $G$ es solucionable.
(A) Demostrar que si $\mathscr C$ son verdaderos, entonces $G$ es solucionable:
(1) Ya que $\mathscr C_2: H_i/H_{i-1}$ es abeliano, por lo tanto $\forall a, b \in H_i$ tenemos
$$\begin{align} (H_{i-1})a(H_{i-1})b &= (H_{i-1})b(H_{i-1})a \tag{1}\\ (H_{i-1})ab &= (H_{i-1})ba \tag{2}\\ ab(ba)^{-1}(H_{i-1}) &= (H_{i-1}) \tag{3}\\ \underbrace{aba^{-1}b^{-1}}_{\in \ H'_{i}} &\in (H_{i-1}) \tag{4}\\ \therefore \forall x \in H'_{i} &\rightarrow x \in H_{i-1} \tag{5}\\ H'_{i} &< H_{i-1} \tag{6}\\ \because H_{i-1} < H_{i} &\rightarrow H'_{i-1} < H'_{i}\tag{7}\\ \therefore H'_{i-1} &\neq H_{i-1} \tag{8} \end{align}$$ (2) Con un análisis similar, podemos derivar fácilmente $H'_{i} \neq H_{i}$ para cada subgrupo de $G$ Por lo tanto, según la definición $G$ se puede resolver como se desea. $\blacksquare$
(B) Demostrar que si $G$ tiene solución, entonces $\mathscr C$ son verdaderos:
(1) ...
(2) ...
