Encontrar el conjunto de puntos extremos y el cono de recesión de un conjunto no convexo

Question

Ya he mostrado el conjunto $$\mathcal{B}=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb{R}^{2}: x_{2}\leq (x_{1})^{2}\}$$ para ser no convexo, cerrado y no acotado.

Ahora, necesito encontrar el conjunto de puntos extremos de $\mathcal{B}$ así como su cono de recesión.

Definición de cono de recesión: Dejemos que $X\subset \mathbb{R}^{m}$ sea un conjunto convexo. El conjunto $$X_{\infty}=\{d:X+d\subset X\}$$ se llama cono de recesión de $X$ . (A veces también se denomina cono asintótico .)

Definición de un punto extremo: Un punto $x$ de un conjunto convexo $X$ se llama punto extremo de $X$ si no hay otros puntos $u,v\in X$ existe tal que $$x=\frac{1}{2} u+ \frac{1}{2}v.$$

Mi problema es que ambas definiciones mencionan específicamente conjuntos convexos, mientras que yo estoy trabajando con un conjunto que no es convexo. Sin embargo, sé que un conjunto de puntos discretos está formado únicamente por todos los puntos extremos sin ser un conjunto convexo, por lo que es posible encontrarlos en el caso de $\mathcal{B}$ Pero no sé cómo hacerlo.

Tampoco sé, en general, cómo encontrar conos de recesión.

¿Podría alguien mostrarme cómo hacerlo? Se lo agradecería eternamente y me ayudaría a abordar problemas similares.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $d$ es tal que ${\cal B}+d \subset {\cal B}$ .

Desde $(x,x^2) \in {\cal B}$ debemos tener $x^2+d_2 \le (x+d_1)^2$ que se simplifica a $d_2 \le 2 x d_1 + d_1^2$ para todos $x$ por lo que $d_1 = 0$ y $d_2 \le 0$ .

Supongamos que $d = (0, d_2)$ con $d_2 \le 0$ entonces es fácil comprobar que ${\cal B}+d \subset {\cal B}$ .

Por lo tanto, ${\cal B}_\infty = \{ (0,t) | t \le 0 \}$ . (Nótese que en general el conjunto de direcciones de recesión no es necesariamente un cono cuando el conjunto subyacente no es convexo).

En cuanto a los puntos extremos:

Supongamos que $x \in {\cal B}$ y $x_2 < x_1^2$ . El para un tamaño suficientemente pequeño $t>0$ tenemos $x_2+t < x_1^2$ y así $(x_1, x_2-t), (x_1, x_2+t) \in {\cal B}$ . Desde $(x_1,x_2) = {1 \over 2} (x_1, x_2-t) + {1 \over 2} (x_1, x_2+t)$ nosotros vemos que $x$ no es extrema.

Supongamos ahora que $x \in {\cal B}$ y $x_2 = x_1^2$ . Si $x_1 = 0$ entonces podemos ver que $(-1,0), (1,0) \in {\cal B}$ y $(0,0) = {1 \over 2} (-1,0) + {1 \over 2} (1,0)$ así que $(0,0)$ no es un punto extremo. Así que podemos suponer que $x_1 \neq 0$ .

Dado que la curva $x \mapsto x^2$ es convexa, tenemos que la línea tangente a la curva se alinea por debajo de la curva, por lo tanto $(x, x_1^2+ 2 x_1(x-x_1) \in {\cal B}$ para todos $x$ (esto es es fácil de verificar directamente). En particular, si elegimos $x = x_1 \pm 1$ vemos que $(x_1,x_2) = {1 \over 2} (x_1, x_2-2 x_1) + {1 \over 2} (x_1, x_2-2 x_1)$ y así $(x_1,x_2)$ no es extrema.

(Nótese que el concepto de puntos extremos no tiene mucho sentido cuando se aplica a conjuntos no convexos).

Anexo : Para demostrar que $(x, x_1^2+ 2 x_1(x-x_1) \in {\cal B}$ para todos $x$ sólo tenemos que demostrar que $x_1^2+ 2 x_1(x-x_1) \le x^2$ . Esto se deduce de la desigualdad $(x-x_1)^2 \ge 0$ .