El uso de topología algebraica, uno puede, en un asunto relativamente directo los siguientes:
La proposición , incluso Para $n>0$, no existe un mapa de $\mu\colon S^n\times S^n\S^n$ tal que $$\mu\circ i_1=\mathrm{id}_{S^n}=\mu\circ i_2,$$ donde $i_1,i_2\colon S^n\S^n\times S^n$ se (continua) las inclusiones de la forma $S^n\S^n\times\{x_1\}$ y $S^n\a\{x_2\}\times S^n$.
Si topología algebraica es menos elemental que el uso del teorema de von Neumann para pasar a la Mentira de los grupos, dando un paralelo del vector de campo, y luego ir a través de la bola peluda teorema (o su mayor dimensión análogos) es... discutible. Sin embargo, la topología algebraica resultado es más general, ya que muestra la imposibilidad no sólo de topológica de la estructura del grupo (teniendo $x_1=x_2=e$), pero de la estructura topológica de magma (es decir, un H-espacio).
Prueba. El Künneth fórmula nos dice que la (unital) cohomology álgebra $H^*(S^n\times S^n)$ es isomorfo al producto tensor $H^*(S^n)\otimes H^*(S^n)$, con el isomorfismo dada por $$H^*(S^n)\otimes H^*(S^n)\ni\otimes b\mapsto \pi_1^*(a)\cup\pi_2^*(b)\in H^*(S^n)$$ donde $\pi_1,\pi_2\colon S^n\times S^n\S^n$ son de la canónica de los mapas de proyección. En particular, si $a$ es un generador de $H^*(S^n)$ (como unital álgebra), entonces $\pi_1^*(una)$,$\pi_2^*(una)$ (independiente) generadores de $H^*(S^n\times S^n)$ como unital álgebra, y de $H^n(S^n\times S^n)$ como $2$-dimensional espacio vectorial.
Ahora, la continua inclusiones $i_1,i_2\colon S^n\S^n\times S^n$ son los mapas tal que $$\pi_i\circ i_j=\begin{casos}\mathrm{id}_{S^n}&i=j\\\text{constante}&i\neq j\end{casos}.$$ Por lo tanto, la inducida por homomorphisms $i_1^*,i_2^*\colon H^*(S^n\times S^n)\H^*(S^n)$ y $\pi_1^*,\pi_2^*\colon H^n(S^n)\H^*(S^n\times S^n)$ de cohomology álgebras son tales que $$i_j^*\circ\pi_i^*=\begin{casos}\mathrm{id}_{H^*(S^n)}&i=j\\0&i\neq j\end{casos}.$$ En particular, si $$\sigma=x\pi_1^*(a)+y\pi_2^*(a)\in H^n(S^n\times S^n),$$ $i_1^*(\sigma)=xa$ y $i_2^*(\sigma)=ya$.
En consecuencia, si $\mu\colon S^n\times S^n\S^n$ es tal que $\mu\circ i_j=\mathrm{id}_{S^n},$ entonces la inducida por el mapa de $\mu^*\colon H^*(S^n)\H^*(S^n\times S^n)$ en cohomology álgebras debe satisfacer $$i_j^*\circ\mu^*=\mathrm{id}_{H^*(S^n)}\colon H^*(S^n)\H^*(S^n).$$ Tenemos que $i_j^*(\mu^*(a))=a$ $\mu^*(a)\in H^n(S^n)$, por lo que desde la anterior observación $\mu^*(a)=\pi_1^*(a)+\pi_2^*(una)$.
Por otro lado, $a\cup\H^{2n}(S^n)=0$, por lo que tenemos
\begin{align*}0=\mu^*(0) &=\mu^*(a\cup a) \\
&=\mu^*(a)\cup\mu^*(a) \\
y=(\pi_1^*(a)+\pi_2^*(a))^2 \\
&=\pi_1^*(a\cup a)+\pi_2^*(a\cup a)+\pi_1^*(a)\cup\pi_2^*(a)+\pi_2^*(a)\cup\pi_1^*(a) \\
&=\pi_1^*(a)\cup\pi_2^*(a)+(-1)^n\pi_1^*(a)\cup\pi_2^*(una).
\end{align*} Ya que $$\pi_1^*(a)\cup \pi_2^*(a)\cong\otimes\neq0\H^*(S^n\times S^n)\cong H^*(S^n)\otimes H^*(S^n),$$ esto de la igualdad ocurre si y sólo si $n$ es impar.
Observación. Creo (pero no lo he probado) que si suponemos, además, que $\mu\colon S^n\times S^n\S^n$ es asociativa de la multiplicación, entonces la aplicación de un análogo argumento a $$\mu^{(k)}\colon S^n\times S^n\times\dots\times S^n\S^n$$ podría dar condiciones adicionales en la dimensión. Uno tal vez podría demostrar de esta manera que $H^*(S^n)$ puede tener un inducida por la estructura como un álgebra de Hopf (es decir asociativa de la multiplicación, y una inversión mapa) sólo si la dimensión es de $n=2^m-1$. O tal vez no, no sé.
