Número de matrices 4 × 4 con determinantes Impares

Question

¿Cuántas matrices de 4 × 4 con entradas de {0, 1} tienen determinante impar? Estaba intentando dividir la matriz en cuatro matrices en bloque de tamaño 2 × 2, y considerar todas las combinaciones de matrices en bloque con determinantes 0 y 1, de forma que el determinante de la matriz original sea impar. Pero me quedé atascado, ya que no estaba seguro de la relación entre los determinantes de las matrices de bloques y la matriz original. ¿Me podéis ayudar?

Answer 1

Pista: tales matrices con determinante par tienen determinante cero en $\Bbb F_2$ mientras que los que tienen determinantes Impares tienen el determinante 1 en $\Bbb F_2$ y por lo tanto son invertibles. La cuestión equivale a preguntar cuál es el tamaño de $GL(4,\Bbb F_2)$ es.