¿Me equivoco al pensar que se trata de un isomorfismo y no de un homomorfismo?

Question

La siguiente es una cita de la prueba de la Proposición 11.10 en "Introduction to Commutative Algebra" de Atiyah y MacDonald.

También si ${\mathfrak m}'$ es el ideal máximo de $A'$ ,
$A'/{\mathfrak m}'^n$ es una imagen homomórfica de $A/{\mathfrak m}^n$ , por lo que $l(A/{\mathfrak m}^n) \geq l(A'/{\mathfrak m}'^n)$ .

En lo anterior, $A$ es un anillo local noetheriano, ${\mathfrak m}$ es su ideal máximo, y $A'=A/{\mathfrak p}_0$ donde ${\mathfrak p}_0$ es un ideal primo en $A$ . También, $l(M)$ es la longitud de $M$ .

Me parece que
$A'/{\mathfrak m}'^n$ es una imagen isomorfa de $A/{\mathfrak m}^n$ , por lo que $l(A/{\mathfrak m}^n) = l(A'/{\mathfrak m}'^n)$ .

¿Me equivoco?

Answer 1

El epimorfismo natural de $A/\mathfrak m^n$ a $A'/\mathfrak m'^n$ es no inyectiva en general.

En efecto, si se pone $$ A:=\mathbb Z/4\mathbb Z,\quad\mathfrak p_0=\mathfrak m=(2),\quad n=2, $$ se obtiene $$ A'=\mathbb Z/2\mathbb Z,\quad\mathfrak m'^n=\mathfrak m'^2=\mathfrak m'=0,\quad A'/\mathfrak m'^n=\mathbb Z/2\mathbb Z, $$ $$ \mathfrak m^n=\mathfrak m^2=0,\quad A/\mathfrak m^n=A=\mathbb Z/4\mathbb Z. $$ Así, $A/\mathfrak m^n$ tiene cuatro elementos, mientras que $A'/\mathfrak m'^n$ sólo tiene dos elementos.