Halla el total de la suma de los cinco primeros términos de la serie aritmética y la suma de los tres primeros términos de la serie geométrica.

Question

Se dispone de la siguiente información sobre la serie:

1. El segundo término de la serie geométrica es el mismo que el cuarto término de la serie aritmética.
2. El $7^{th}$ término de la serie aritmética es el mismo que el $3^{rd}$ término de la serie geométrica.
3. El primer término de la serie geométrica supera al primer término de la serie aritmética en 64/3.
4. La suma de los tres primeros términos de la serie aritmética, $A_3$ y la suma de los dos primeros términos de la serie geométrica, $G_2$ están relacionados por la fórmula $A_3 + G_2 + 21 = 0$ .

Para encontrar: El total de la suma de los 5 primeros términos de la serie aritmética y la suma de los 3 primeros términos de la serie geométrica.

Mi enfoque hasta ahora:

Supongamos que el primer término de AP sea $a$ y la diferencia común sea $d$ el primer término de GP sea $b$ y la relación común sea $r$ . Entonces tenemos lo siguiente: $$br = a + 3d$$ $$br^2 = a + 6d$$ $$b-a=\frac{64}{3}$$ $$a+d+b+br+7=0$$

Tenemos que encontrar: $5a+10d+b+br+br^2$ .

Hasta ahora he conseguido: $$a+d+b+br+7+br^2=a+6d \implies b+br+br^2=5d-7$$ Por lo tanto, $$5a+10d+b+br+br^2=5a+10d+(5d-7)=5(a+3d)-7=5br-7$$

Estoy atascado en este punto, ya que no soy capaz de pensar en ninguna forma de resolver esto sin involucrar a las potencias superiores de las variables.

¿Cómo podemos proceder a partir de aquí?

Answer 1

Una pista: Desde $A_3+G_2+21=0$ obtenemos $3a+3d+b+br+21=0$ .

Hay cuatro ecuaciones en cuatro variables y una de ellas contiene $r^2$ . Por lo tanto, hay que resolver una ecuación cuadrática ya que no hay una buena cancelación.