Demostrar cualquier sublineal $p:X\to\mathbb{R}$ satisface $p(x)\ge 0$ para todos $x\in X$

Question

Si $(X,\|\cdot\|)$ es un espacio vectorial complejo normado, $p:X\to\mathbb{R}$ es sublineal si

1. $p(\alpha x)=|\alpha|p(x)$ y
2. $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ para todos $\alpha\in\mathbb{C}$ y $x,y\in X$ .

Quiero demostrar que cualquier sublineal $p:X\to\mathbb{R}$ satisface $p(x)\ge 0$ para todos $x\in X$ que debería ser bastante fácil, pero no lo veo.

Answer 1

Para cualquier $x\in X$ por la primera propiedad: $$p(-x)=p(-1x)=|-1|p(x)=p(x)$$ Entonces, por la segunda propiedad $$p(0)=p(x+(-x))\le p(x)+p(-x)=2p(x)\tag{1}$$ para cualquier $x\in X$ . En particular $(1)$ se mantiene para $x=0$ (nota que $X$ como un espacio vectorial normado contiene un elemento que puede ser identificado como el $0$ vector) dando $$p(0)\le 2p(0) \iff 0\le p(0) \tag{2}$$ Poniendo $(1)$ y $(2)$ juntos: $$0\le p(0)\le 2p(x)\implies 0\le p(x), \qquad \forall x\in X$$

Answer 2

Observe que $$ p(0) = p(0 \cdot 0) = 0 \cdot p(0) = 0. $$ y para cada $x \in X$ $$ p(-x) = p((-1)x) = |-1| \ p(x) = p(x). $$ De ello se desprende que para cada $x \in X$ $$ 0 = p(0) = p(x - x) \leq p(0)+p(-x) = p(x)+p(x) = 2p(x), $$ así que $0 \leq p(x)$ .