Teorema de los intervalos anidados" en $\mathbb{R}^2$

Question

El teorema de los intervalos anidados de Cantor puede enunciarse como "Si $\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia anidada de intervalos cerrados y acotados, entonces $\cap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]$ no está vacío. Si, además, los diámetros de los intervalos convergen a $0$ entonces $\cap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]$ tiene precisamente un miembro".

¿Cómo se generaliza esto exactamente a $\mathbb{R}^2$ ? La primera parte creo que es bastante sencilla: "Si $\{[a_n,b_n] \times [c_n,d_n]\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia anidada de rectángulos cerrados y acotados en $\mathbb{R}^2$ entonces $\cap_{n=1}^\infty[a_n,b_n] \times [c_n,d_n]$ es no vacía".

Es la segunda parte la que me resulta curiosa. El análogo natural en dos dimensiones del diámetro de los intervalos que convergen a $0$ sería el área de los rectángulos que van a cero. Sin embargo, esto podría dar lugar a un punto o a un segmento de línea. Si $a$ , $c$ y $b$ , $d$ son los supremos e infimos, respectivamente, de las secuencias de puntos finales de los intervalos $[a_n,b_n]$ y $[c_n,d_n]$ es la generalización correcta de que la intersección será $[a,b] \times \{c=d\}$ , $\{a=b\} \times [c,d]$ o un solo punto, $\{(a,c)\}$ ? ¿O es más correcto decir que si $\mbox{diam}[a_n,b_n] \to 0$ y $\mbox{diam}[c_n,d_n] \to 0$ entonces la intersección es un solo punto, $\{(a,c)\}$ . Esto último no requiere que hagamos que el "área" tenga sentido, así que tengo la sensación de que es así, pero me gustaría escuchar algunas opiniones al respecto.

Una idea de última hora: ¿Funciona una idea similar para secuencias anidadas de bolas cerradas $B[x,r]$ como $r \to 0$ ?

Answer 1

La generalización correcta sería hablar de que sus diámetros van a cero. No basta con que su medida de Lebesgue (o, volumen, área) llegue a cero, ya que, como se ha señalado, esto puede dar lugar a otros resultados distintos de los de los singletons. Básicamente cualquier objeto de "menor dimensión" tiene medida de Lebesgue de cero, como una línea en el plano.

De hecho, la segunda parte del teorema se generaliza a cualquier espacio métrico completo $(X,d)$ considerando una secuencia $(F_{i})_{i=1}^{\infty}$ de conjuntos cerrados no vacíos anidados, tales que diam $(F_{i})\to 0$ . Aquí hay un esquema de cómo demostrarlo. Eligiendo una secuencia con $x_{i}\in F_{i}$ para todos $i$ obtenemos una secuencia de Cauchy (ya que los diámetros van a cero) que tiene un límite $x\in F_{1}$ desde $X$ es completa y $F_{1}$ está cerrado. Ahora no es difícil demostrar que $x\in \cap_{i=1}^{\infty}F_{i}$ ya que si hubiera un índice $i_{0}$ con $x\notin F_{i_{0}}$ entonces $x\notin F_{n}$ para todos $n\geq i_{0}$ (ya que la secuencia de conjuntos es no creciente). Dado que $F_{i_{0}}$ es cerrado su complemento es abierto, por lo que existe $r>0$ para que $B(x,r)\subset F_{i_{0}}^{c}$ . Por otro lado, encontramos $k_{0}$ (por definición de convergencia) para que $d(x,x_{i})<r$ para todos $i\geq k_{0}$ . Elija $n_{0}=\max\{k_{0},i_{0}\}$ De ahí que $d(x,x_{i})$ es menor que $r$ (por convergencia) y más o igual que $r$ (ya que la secuencia continúa en el complemento de $B(x,r)$ ) para todos los $i\geq n_{0}$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $x\in \cap_{i=1}^{\infty}F_{i}$ . Si hubiera más elementos en la intersección, digamos otro punto $y$ encontramos $F_{i}$ con un diámetro menor que su distancia (ya que los diámetros van a cero) y que, sin embargo, contiene a ambos puntos, lo que vuelve a ser una contradicción. Por lo tanto, la intersección sólo contiene $x$ es decir, es un singleton.

Así que a su última pregunta: Sí funciona para una secuencia anidada de bolas cerradas con diámetros que van a cero por el resultado anterior si el espacio métrico subyacente es completo (y $\mathbb{R}^{n}$ es completa para todos los $n\in\mathbb{N}$ ).