Valores propios y vectores propios de la matriz constante de bloques

Question

Me interesa saber si existe una relación espectral entre una matriz $A = \begin{bmatrix}a & b \\ b & a\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2}$ y la matriz constante de bloques

$$ A' = \left[ \begin{matrix} a & \cdots & a & b & \cdots & b \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & \cdots & a & b & \cdots & b \\ b & \cdots & b & a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & \cdots & b & a & \cdots & a \\ \end{matrix} \right] \in \mathbb{R}^{(p+q) \times (p+q)} $$

donde el bloque superior izquierdo es $p\times p$ y el bloque inferior derecho es $q\times q$ .

También podemos calcular explícitamente los valores propios de $A$ para ser $\lambda_1 = a+b, \lambda_2 = a - b$ y que los vectores propios sean $v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ .

Claramente $A'$ es de rango 2 por lo que tendrá como máximo 2 vectores propios no nulos. ¿Existe algún teorema que describa los valores y vectores propios en términos de $p$ y $q$ ?

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Gracias Omnomnom por los valores propios. He calculado los vectores propios.

Dejemos que $v = (\underbrace{v_1,\dots v_1}_{p},\underbrace{v_2,\dots,v_2}_{q})$ sea un valor propio entonces debe satisfacer $A'v= \lambda v$ así que

• $pav_1+qbv_2 = \lambda v_1$
• $pbv_1 + qav_2 = \lambda v_2$

Por lo tanto, dejar que $v_2 = 1$ tenemos $v_1 = \frac{qb}{\lambda -pa}$ . Esto se normaliza fácilmente dividiendo por $\sqrt{p\left(\frac{qb}{\lambda - p}\right)^2 + q}$ .

Answer 1

Dejemos que $1_n \in \Bbb R^n$ denotan el vector columna $(1,\dots,1)$ . Podemos escribir $A'$ en la forma $$ A' = \pmatrix{a1_p1_p^T & b 1_p1_q^T\\ b1_q1_p^T & a 1_q 1_q^T} $$ Ahora, seleccione las matrices ortogonales $P$ de tamaño $p \times p$ y $Q$ de tamaño $q \times q$ tal que $P1_p = \sqrt p e_p$ y $Q 1_q = \sqrt q e_q$ , donde $e_n \in \Bbb R^n$ es el vector de columnas $(1,0,\dots,0)$ . Toma $M$ para ser la matriz ortogonal $\operatorname{diag}(P,Q)$ . Con la multiplicación de la matriz en bloque, calculamos $$ MA'M^T = \pmatrix{P&0\\0&Q} \pmatrix{a1_p1_p^T & b 1_p1_q^T\\ b1_q1_p^T & a 1_q 1_q^T} \pmatrix{P^T&0\\0&Q^T}\\ = \pmatrix{a(P1_p)(P1_p)^T & b (P1_p)(Q1_q)^T\\ b(Q1_q)(P1_p)^T & a (Q1_q) (Q1_q)^T}\\ = \pmatrix{ap\,e_p e_p^T & b\sqrt{pq}\, e_pe_q^T\\ b \sqrt{pq}\, e_q e_p^T & bq\, e_qe_q^T}. $$ Existe una matriz de permutación $R$ tal que $R[MA'M^T]R^T = \operatorname{diag}(B,0)$ , donde $$ B = \pmatrix{ap & b\sqrt{pq}\\ b \sqrt{pq} & a q}. $$ Así, los valores propios no nulos $A'$ son los valores propios de la matriz $B$ arriba. Podemos encontrar los valores propios de $A'$ utilizando los valores propios de $B$ también.

Estos valores propios resultan ser $$ \lambda = \frac 12 \left(a (p + q) \pm \sqrt{[a(p-q)]^2 + 4 b^2 p q}\right) $$ que se simplifica a $p(a\pm b)$ en el caso de que $p = q$ .