Demostrar que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2 $ es continua

Question

Demostrar que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2 $ es continua

Mi intento. Deja que $a \in \mathbb{R}$ ser fijo, sino arbitrario.

Dejemos que $\epsilon > 0$ . Elija $\delta := \min\{\sqrt{\frac{\epsilon}{2}}, \frac{\epsilon}{4|a|}\}$

Entonces, para todos los $x \in \mathbb{R}$ tal que $|x-a| <\delta$ tenemos:

$$|x^2 - a^2| = |x-a||x+a| = |x-a||x-a + 2a| \leq|x-a|(|x-a| + 2|a|) \leq \delta^2 + 2\delta|a|\leq \epsilon$$

Por lo tanto, $f$ es continua en $a$ y porque $a$ es arbitraria se deduce que $f$ es continua en su dominio, como se desea.

¿Es esto correcto? (por cierto, no es un duplicado, tengo mi propia prueba con otra elección de delta que otras pruebas)

Answer 1

Esta prueba tiene buena pinta. El único problema que veo es que su definición de $\delta$ tiene una expresión indefinida si $a=0$ . Sin embargo, esto debería ser bastante fácil de arreglar.

Dependiendo de lo que su instructor esté buscando, podría querer explicitar por qué los dos términos de su penúltima expresión son cada uno menor que $\frac{\epsilon}{2}$