¿Por qué la energía cinética aumenta cuadráticamente, no linealmente, con la velocidad?

Question

Como dice Wikipedia:

[...] la energía cinética de un objeto no giratorio de masa $m$ que viaja a una velocidad $v$ es $\frac{1}{2}mv^2$.

¿Por qué esto no aumenta linealmente con la velocidad? ¿Por qué se necesita tanta más energía para pasar de $1\ \mathrm{m/s}$ a $2\ \mathrm{m/s}$ que para pasar de $0\ \mathrm{m/s}$ a $1\ \mathrm{m/s}$?

Mi intuición está equivocada aquí, por favor ayúdalo!