Encontrar la función original a partir de la composición de la función

Question

Si $f(f(x)) = x^2 + 2$ , entonces encuentra $f(11)$ ? Dado que si $a>b$ entonces $f(a)>f(b)$

Esta pregunta la recibí de un grupo de estudio del que formo parte. Allí la pregunta se describió así $x,f(x),a,b$ sean enteros positivos y si $a>b$ entonces $f(a)>f(b)$ y $f(f(x)) = x^2 + 2$ entonces qué es $f(11)$ ?

Lo he intentado sustituyendo $x= 1$ y $3$ y consiguió $f(f(1)) = 3$ y $f(f(3))=11$ pero no sé cómo seguir adelante.

Answer 1

Así que la función tiene que estar definida para enteros positivos. Entonces, debemos tener $f(x)>x$ porque $f(x)<x$ implicaría $f(f(x)<f(x)<x$ pero $x^2+2>x$ y $f(x)=x$ es igualmente imposible. Sustitución de $x$ por $f(x)$ muestra que $f(f(f(x))=f(x)^2+2=f(x^2+2)$ . Desde $x<f(x)<f(f(x))=x^2+2$ Debemos tener $1<f(1)<1^2+2=3$ es decir $f(1)=2$ . Entonces, $f(2)=f(f(1))=1^2+2=3$ , $f(3)=f(f(2))=2^2+2=6$ y $f(11)=f(3^2+2)=f(3)^2+2=38$ .