Encuentre todos $\alpha$ tal que la serie converge

Question

Encuentra todos los valores de $\alpha$ tal que la serie $$\sum^\infty_{n=1} \left( \frac{1}{n \cdot \sin(1/n)} - \cos\left(\frac{1}{n}\right) \right)^\alpha$$ converge.

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He utilizado Maclaurin para $\sin$ y $\cos$ y lo conseguí:

$$a_n = \left( \frac{1}{1 - \dfrac{1}{3!n^2} + \ldots} - 1 + \frac{1}{2!n^2} - \frac{1}{4!n^4} + \ldots \right) ^ \alpha$$

Reunirlo en una fracción parece ser algo difícil de hacer.

Answer 1

SUGERENCIA:

Estás en el camino correcto. Tenga en cuenta que

$$\frac{1}{1-\frac1{6n^2}+O\left(\frac1{n^4}\right)}=1+\frac1{6n^2}+O\left(\frac1{n^4}\right)$$

Por lo tanto, vemos que

$$\frac{1}{n\sin(1/n)}-\cos(1/n)=\frac2{3n^2}+O\left(\frac1{n^4}\right)$$

Answer 2

Sugerencia

$$n\sin(\frac{1}{n})=1-\frac{1}{6n^2}(1+\epsilon_1(n))$$

$$\frac{1}{n\sin(\frac{1}{n})}=1+\frac{1}{6n^2}(1+\epsilon_2(n))$$

$$\cos(\frac{1}{n})=1-\frac{1}{2n^2}(1+\epsilon_3(n))$$

así, cuando $n\to +\infty$ , el término general de su serie $u_n$ , satisface

$$u_n \sim (\frac{2}{3n^2})^\alpha $$

y por la prueba de comparación de límites,

$\sum u_n$ converge $\iff \; \alpha>\frac{1}{2}$ .