Leyes de los grandes números e independencia

Question

Acabo de hacer una breve revisión de varias fuentes, y todas especifican que si $X_i$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, entonces $S_n/n \rightarrow E(X_i)$ (con respecto a varias nociones de convergencia). ¿Los distintos $X_i$ ¿realmente necesita ser independiente?

Answer 1

El Teorema Ergódico de Birkhoff puede considerarse una generalización de la Ley Fuerte de los Grandes Números a las secuencias idénticamente distribuidas pero dependientes.

Answer 2

No. Por ejemplo, si tiene un estacionario series temporales con autocovarianzas $\gamma_j$ Satisfaciendo a $0<\sum_j \gamma_j^2<\infty$ entonces se tiene la convergencia, también, ya que

$$V\Bigl( \frac{1}{n}\sum_{t=1}^n X_t \Bigr)= \frac{1}{n^2} \sum_{t=1}^n \sum_{s=1}^n \gamma_{t-s} \to 0,$$

como $n\to\infty.$