Encuentra el límite de esta expresión

Question

Intenté reemplazar $1-x$ con $1/u$ para conseguir una forma que el método de L'Hospital pudiera ser aplicable pero no conseguí nada. ¿Puede alguien darme una pista?

$$ \lim_{x \to 1} \;\; \tan{\Big(\frac{\pi x}{2}\Big)}(1-x) $$

Answer 1

Dejemos que $1-x=t$ entonces el límite se puede escribir como $$\lim_{t \to 0}\tan\left(\frac{\pi (1-t)}{2}\right)t = \lim_{t \to 0}\cot\left(\frac{\pi t}{2}\right)t=\lim_{t \to 0}\frac{\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)t}{\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{\pi}{2}t \cdot \frac{2}{\pi}}{\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)}=\frac{2}{\pi}.$$

He utilizado $\lim_{x \to 0}\frac{x}{\sin x}=1$ .

Answer 2

Poner $t=1-x$ . El límite se convierte en $$\lim_{t\to 0}\cot({\pi\over 2}t)\times t=\lim_{t\to 0}\cos ({\pi\over 2}t).{t\over \sin ({\pi\over 2}t)}$$