Determinar una matriz a partir de los términos de la fórmula de Leibniz

Question

Dejemos que $A$ es un $n\times n$ matriz con no cero entradas reales $a_{ij}$ . Digamos que a uno le dan $$ X_{\sigma}:=\text{sgn}(\sigma)\cdot\prod_{i=1}^na_{i\,\sigma(i)} $$ para cada $\sigma\in S_n$ . ¿Es esta información suficiente para determinar $A$ ? Creo que la respuesta es no por el siguiente argumento:

Se puede "linealizar" este sistema tomando registros y fijando $b_{ij}=\log a_{ij}$ . Entonces se observa que el espacio de matrices de permutación tiene dimensión $(n-1)^2+1$ pero hay $n^2$ variables $b_{ij}$ por lo que el espacio de soluciones tiene dimensión $n^2-(n-1)^2-1$ . Sin embargo, esto parece implicar que el mapa lineal $[b_{ij}]_{1\le i,j\le n}\mapsto [X_\sigma]_{\sigma\in S_n}$ no es inyectiva, pero no veo claramente cuál es el núcleo?

También me interesa la modificación en la que sólo vemos $X_\sigma$ si $\sigma$ tiene al menos un punto fijo, y sólo queremos encontrar $\det A$ .

Edición: Me interesa el caso en el que el número de restricciones $\lceil n!(1-1/e)\rfloor$ supera el número de variables $n^2$

Answer 1

Para $n > 1$ , si $E$ es el conjunto de $n{\,\times\,}n$ matrices reales con un máximo de $n-1$ entradas no nulas, entonces para todo $A\in E$ tenemos $X_{\sigma}=0$ para todos $\sigma\in S_n$ Así que $A$ no está determinada de forma única.

Otro ejemplo, para $n > 1$ , dejemos que $A$ ser un $n{\,\times\,}n$ matriz real con todas las filas iguales pero sin dos columnas iguales, y que $B$ sea cualquier matriz obtenida a partir de $A$ por una permutación no identitaria de las columnas de $A$ . Entonces $A\ne B$ pero para todos $\sigma\in S_n$ el valor de $X_\sigma$ para $A$ es igual al valor de $X_\sigma$ para $B$ por lo que la información dada no es suficiente para separar $A$ y $B$ .

Para la pregunta modificada, dejemos $D$ sea el conjunto de $2{\,\times\,}2$ matrices reales con al menos un cero en la diagonal principal. Observando que la permutación de identidad es el único elemento de $S_2$ con al menos un punto fijo, se deduce que la información conocida es la misma para todos $A\in D$ pero $\det(A)$ no está determinada de forma única.

Actualización:

Mi respuesta anterior se aplica a la pregunta del PO tal y como se planteó originalmente.

Pero para la versión actual de la pregunta del OP $(1)$ aún podemos demostrar la no unicidad

Fijar $n > 1$ .

Dejemos que $A$ ser un $n{\,\times\,}n$ matriz real cuyas entradas son todas distintas de cero.

Dejemos que $x_1,...,x_n,y_1,...,y_n$ sea $2n$ números reales cuyo producto es $1$ y tal que $x_iy_j\ne 1$ para al menos un par $(i,j)$ .

Dejemos que $B$ sea el $n{\,\times\,}n$ matriz real tal que para todo $i,j$ tenemos $b_{ij}=x_iy_ja_{ij}$ .

Entonces $A\ne B$ pero para todos $\sigma\in S_n$ el valor de $X_\sigma$ para $A$ es igual al valor de $X_\sigma$ para $B$ por lo que la información dada no es suficiente para separar $A$ y $B$ .