Voy a tratar de responder a ambas preguntas, aunque tengo que cambiar la primera pregunta algo. Vamos a trabajar en la configuración de un verdadero reductora algebraica de grupo $G$ y un subgrupo cerrado $H \subset G$.
Su primera pregunta al $G/H$ es un subconjunto abierto de algunos (presumiblemente complejo) de la variedad. Creo que esta pregunta debe ser modificado de varias maneras.
Realmente no se puede decir que el $G/H$ "es un subconjunto" de una variedad, ya que $G/H$ no es un a priori dotado de una estructura compleja. Por lo que necesita un poco más de datos para ir con la pregunta -- una estructura compleja en el espacio homogéneo $G/H$. Una estructura tan compleja puede ser dada por una incrustación de un círculo el grupo $U(1)$ como un subgrupo del centro de $H$. Deje $\phi: U(1) \rightarrow G$ ser una incrustación, y deje $\iota = \phi(i)$ ser la imagen de $e^{pi i} \in U(1)$ bajo este mapa. Esta inclusión de los rendimientos de una integración compleja estructura en la real colector $G/H$, yo creo (aunque no he visto esta indicado en este grado de generalidad).
Así que ahora uno puede preguntarse si $G/H$, dotado de una estructura tan compleja, es un subconjunto abierto de una compleja variedad algebraica. Pero, de nuevo, tengo algunas objeciones a esta pregunta -- no es el correcto para preguntar. De hecho, es muy interesante cuando uno encuentra que algunos cocientes $\Gamma \backslash G /H$ (quasiprojective) variedades, pero estos coeficientes no son obtenidos como cocientes en una categoría de variedades, desde las $G/H$$\Gamma \backslash G / H$. Son complejos de la analítica de cocientes, pero no cociente de variedades en cualquier sentido, que yo sepa.
¿Cuál es el punto de saber si $G/H$ es un subconjunto abierto de una variedad? Realmente, uno necesita conocer las propiedades de $G/H$ como una de Riemann múltiple y complejo de la analítica de espacio (por ejemplo, la curvatura, si se trata de una jarra de espacio). Que es la cosa más importante!
Como Kevin Buitre y sus comentaristas señalan, bajo el supuesto de que $G$ proviene de una reductora grupo de más de $Q$, y bajo el supuesto de que $H$ es la máxima compacto subgrupo de $G$, y bajo el supuesto de que hay un "Shimura datum" dar el cociente $G/H$ una estructura compleja, el cociente $G/H$ es un período de dominio de estructuras de Hodge, y los cocientes $\Gamma \backslash G / H$ son quasiprojective variedades al $\Gamma$ es una media aritmética de los subgrupos de $G$.
Pero estos son bastante fuertes condiciones, en $G$ y en $H$! También me he preguntado acerca de otras situaciones cuando se $X = \Gamma \backslash G / H$ podría tener una estructura natural de una quasiprojective variedad. Una técnica general para probar tal cosa es el uso de un diferencial geométricos argumento. Una gran teorema a lo largo de esta línea es debido a Mok-Zhong (Compactifying completa Kähler-Einstein colectores de topológico de tipo finito y limitado de la curvatura, Ann. de Matemáticas 1989). El teorema, como citado en MathSciNet, se lee:
"Vamos a $X$ ser un complejo colector de topológicos finitos tipo. Deje $g$ ser un completo Kähler métrica en $X$ de volumen finito y negativos de la curvatura de Ricci. Supongamos, además, que las curvaturas seccionales son acotados. A continuación, $X$ es biholomorphic a un Zariski-abrir subconjunto $X'$ de un proyectiva variedad algebraica $M$."
Tales resultados pueden ser aplicados a probar quasiprojectivity de Shimura variedades de Hodge tipo. Creo que me enteré de esto por la lectura de J. Milne notas sobre Shimura variedades.
Lo intenté una vez para aplicar esto a una aritmética cociente de $G/H$ donde $H$ era un poco más pequeño que el de un máximo compacto (al $G/H$ fue el twistor de cobertura de una quaternionic simétrica espacio) -- yo no podía demostrar Mok-Zhong las condiciones para la quasiprojectivity, y yo todavía no sé si dichos coeficientes son quasiprojective.
