Expresar la condición de homomorfismo con un diagrama conmutativo.

Question

Me pregunto cómo expresar la condición homomórfica en diagramas conmutativos. Para ello dejemos que $(M, \cdot)$ y $(N, \cdot)$ sean estructuras algebraicas y que $\varphi : M \to N$ sea un homomorfismo, entonces para todo $x,y \in M$ $$\varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \circ \varphi(y).$$ La única posibilidad que se me ocurre es

$$\begin{matrix} M\times M & \overset{\varphi\times\varphi}{\longrightarrow} & N\times N \\ \downarrow {\scriptsize \cdot}& & \downarrow {\scriptsize \circ} \\ M \,\,\,& \overset{\varphi}{\longrightarrow} & N\end{matrix}$$

donde $(\varphi \times \varphi)(x,x) := (\varphi(x), \varphi(x))$ . Pero esto parece bastante complicado con todos estos productos para expresar esta simple idea, así que ¿hay diagramas más simples para expresar esto (cuando el mío es correcto, no sé si es válido asumir que tales construcciones de productos son posibles...)?

Answer 1

Así es, y es lo más sencillo que se puede hacer. Este es un caso especial de un homomorfismo de álgebras para un endofunctor que tiene exactamente el mismo diagrama pero generalizado. Lo explico a continuación.

Dejemos que $F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ sea un functor de una categoría $\mathcal{C}$ a sí mismo. Un $F$ - álgebra es un par $(M, \alpha)$ , donde $\alpha : FM \to M$ es un morfismo, que puede ser necesario para satisfacer algunas propiedades adicionales. En su caso tenemos $FM = M \times M$ y $\alpha(x,y) = x \cdot y$ .

A homomorfismo de $F$ -algebras $\phi : (M, \alpha) \to (N, \beta)$ es un morfismo $\phi : M \to N$ haciendo que el siguiente diagrama sea conmutable: $$\begin{matrix} FM & \overset{F\phi}{\rightarrow} & FN \\ {\scriptsize \alpha} \downarrow & & \downarrow {\scriptsize \beta} \\ M & \underset{\phi}{\rightarrow} & N\end{matrix}$$

Eso es, $f$ es un homomorfismo siempre y cuando coincida con $\phi$ donde por tipo de recorrido me refiero a que hay que pegar un $F$ ahí dentro.

En resumen, aquí tenemos:

• $\mathcal{C}$ es la categoría de cualquier estructura algebraica con la que estés trabajando
• $M$ y $N$ son objetos de esta categoría
• $F$ es el functor de producto diagonal, definido por $FM = M \times M$ y $F\phi = \phi \times \phi$
• $\alpha : M \times M \to M$ es el morfismo $(x,y) \mapsto x \cdot y$
• $\beta : N \times N \to N$ es el morfismo $(x,y) \mapsto x \circ y$

[Añadido] Supongo que el objetivo de que dijera todo esto, que olvidé explicitar, era responder a la parte en la que decías

"Pero esto parece bastante complicado con todos [estos] productos para expresar esta simple idea"

El hecho es que "todos estos productos" provienen todos de un cosa, a saber, el functor diagonal ${({-})} \times {({-})}$ que desempeña el papel del endofunctor $F$ en la construcción anterior.