Así es, y es lo más sencillo que se puede hacer. Este es un caso especial de un homomorfismo de álgebras para un endofunctor que tiene exactamente el mismo diagrama pero generalizado. Lo explico a continuación.
Dejemos que $F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ sea un functor de una categoría $\mathcal{C}$ a sí mismo. Un $F$ - álgebra es un par $(M, \alpha)$ , donde $\alpha : FM \to M$ es un morfismo, que puede ser necesario para satisfacer algunas propiedades adicionales. En su caso tenemos $FM = M \times M$ y $\alpha(x,y) = x \cdot y$ .
A homomorfismo de $F$ -algebras $\phi : (M, \alpha) \to (N, \beta)$ es un morfismo $\phi : M \to N$ haciendo que el siguiente diagrama sea conmutable: $$\begin{matrix} FM & \overset{F\phi}{\rightarrow} & FN \\ {\scriptsize \alpha} \downarrow & & \downarrow {\scriptsize \beta} \\ M & \underset{\phi}{\rightarrow} & N\end{matrix}$$
Eso es, $f$ es un homomorfismo siempre y cuando coincida con $\phi$ donde por tipo de recorrido me refiero a que hay que pegar un $F$ ahí dentro.
En resumen, aquí tenemos:
- $\mathcal{C}$ es la categoría de cualquier estructura algebraica con la que estés trabajando
- $M$ y $N$ son objetos de esta categoría
- $F$ es el functor de producto diagonal, definido por $FM = M \times M$ y $F\phi = \phi \times \phi$
- $\alpha : M \times M \to M$ es el morfismo $(x,y) \mapsto x \cdot y$
- $\beta : N \times N \to N$ es el morfismo $(x,y) \mapsto x \circ y$
[Añadido] Supongo que el objetivo de que dijera todo esto, que olvidé explicitar, era responder a la parte en la que decías
"Pero esto parece bastante complicado con todos [estos] productos para expresar esta simple idea"
El hecho es que "todos estos productos" provienen todos de un cosa, a saber, el functor diagonal ${({-})} \times {({-})}$ que desempeña el papel del endofunctor $F$ en la construcción anterior.
