El siguiente texto es del libro Geometría pifferencial de curvas y superficies de M. do Carmo :
$\quad $ Dejemos que $\alpha:I\to\Bbb R^3$ sea una curva parametrizada por la longitud de arco sin puntos singulares de orden 1. Escribiremos las ecuaciones de la curva, en una vecindad de $s_0$ utilizando el triedro $t(s_0)$ , $n(s_0)$ , $b(s_0)$ como base para $\Bbb R^3$ . Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $s_0=0$ y consideraremos la expansión de Taylor (finita) $$\alpha(s)=\alpha(0)+s\alpha'(0)+\frac{s^2}2a''(0)+\frac{s^3}6\alpha'''(0)+R,$$ donde $\displaystyle\lim_{s\to 0}R/s^3=0$ . Desde $\alpha'(0)=t$ , $\alpha''(0)=kn$ y $$\alpha'''(0)=(kn)'=k'n+kn'=k'n-k^2t-k\tau b,$$ obtenemos $$\alpha(s)-\alpha(0)=\left(s-\displaystyle\frac{k^2s^3}{3!}\right)t+\left(\displaystyle\frac{s^2k}{2}+\frac{s^3k'}{3!}\right)n-\frac{s^3}{3!}k\tau b+R,$$ donde todos los términos se calculan en $s=0$ .
$\quad $ Tomemos ahora el sistema $Oxyz$ de tal manera que el origen $O$ está de acuerdo con $\alpha(0)$ y que $t=(1,0,0)$ , $n=(0,1,0)$ , $b=(0,0,1)$ . En estas condiciones, $\alpha(s)=(x(s),y(s),z(s))$ viene dada por $$\begin{array}{lll}\displaystyle x(s)& = & \displaystyle s-\frac{k^2s^3}{6}+Rx, \\ \displaystyle y(s)&=&\displaystyle\frac k2 s^2+\frac{k's^3}{6}+R_y, \\ \displaystyle z(s)&=&\displaystyle-\frac{k\tau}{6}s^3+R_z,\end{array}\tag{$\textbf {1} $}$$
Aunque el texto suena razonable por sí solo, es coherente con alguna curva conocida, la hélice : $$\alpha (s) = (a \cos (s/c), a \sin (s/c), -b s/c)$$ porque, por ejemplo, las series de Taylor para $\cos (s/c)$ tiene un cuadrado de $s$ en su expansión pero $x(s)$ en la Ecuación 1 no tiene. ¿Por qué se produce esta contradicción?