¿Son los $\mathcal{C}^k$ funciones densas en $\mathcal{L}^2$ o $\mathcal{L}^1$ ?

Question

Sabemos que el conjunto de funciones continuas y el conjunto de funciones suaves en $\mathcal{L}^1$ o $\mathcal{L}^2$ son densos en $\mathcal{L}^1$ y $\mathcal{L}^2$ . Es el conjunto de $\mathcal{C}^k$ funciones densas en $\mathcal{L}^1$ o $\mathcal{L}^2$ para cualquier $k\in\mathbb{N}$ ?

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¿Es el conjunto $\mathcal{C}^k\setminus \mathcal{C}^{\infty}$ en $\mathcal{L}^1$ o $\mathcal{L}^2$ denso en $\mathcal{L}^1$ o $\mathcal{L}^2$ . ¿Cómo se puede probar esto de una manera u otra?

Answer 1

Una forma básica de ver que las funciones suaves son densas en cualquier espacio de funciones razonable es utilizar " aproximaciones a la identidad ." La cuestión es que la convolución con la función delta es el operador de identidad. Sin embargo, la función delta puede ser aproximada por funciones suaves (tomar una función suave apoyada en una pequeña bola de la integral total). Si $\phi$ es una función tan suave (que se aproxima a la $\delta$ ), y $f$ es una función cualquiera, entonces $\phi \ast f$ probablemente esté cerca de $f$ en la métrica que le interesa (esto es siempre cierto en $L^p$ al menos). Pero $\phi \ast f$ es suave ya que para diferenciar esto, basta con diferenciar $\phi$ . (Es una buena propiedad de la convolución que al convolucionar cualquier cosa con una función suave se obtiene una función suave--- si las integrales convergen muy bien).

Answer 2

Esta es la idea de la prueba.

1) Las funciones de paso son densas en $L^p$ ( $p=1,2$ ).

2) Dada una función escalonada $T$ y $\varepsilon>0$ hay un $g\in C^k$ $$\|T-g\|_{L^p}\lt\varepsilon$$ ( $p=1,2$ ).

Answer 3

Trabajar en un espacio de medida borel normal (resp. regular) $(X,S;\mu)$ donde $X$ es un espacio topológico normal (resp. un espacio hausdorff localmente compacto).

Fijar $p\in[1,\infty]$ . Sea $f\in L^{p}(\mu)$ . Obsérvese en primer lugar que podemos aproximar $f$ por funciones simples, donde, por aproximadas, quiero decir topológicamente con respecto a la norma $\|\cdot\|_{p}$ (incluso para el caso de que $p=\infty$ ). A continuación podemos aproximar funciones simples ( es decir funciones medibles con imagen contable), por funciones simples con imagen finita (incluso para el caso de que $p=\infty$ ). Como las funciones simples son simplemente una suma de funciones características ponderadas, basta con aproximar las funciones características por funciones continuas, pues entonces la suma ponderada de estas funciones continuas será una aproximación de la función simple finita.

Así que considera $A\subseteq X$ medible de modo que $\chi_{A}\in L^{p}(\mu)$ . Supongamos $p<\infty$ . Sea $\varepsilon\in\mathbb{R}^{+}$ . Sea $C$ sea cerrada (resp. compacta) y $U\supseteq C$ abierto (resp. $\sigma$ -abierto), de modo que $C\setminus A, A\setminus U$ son nulos, y $\mu(U\setminus C)\leq\varepsilon^{p}$ . Sea $f:X\to[0,1]$ ser continuos y separados $C$ de $X\setminus U$ (las condiciones topológicas de $X$ garantizar que esto sea posible). Claramente $f\in L^{p}(\mu)$ ya que $\int |f|^{p}~\operatorname{d}\mu\leq\mu(U)\leq\mu(U\setminus C)+\mu(A)\leq\varepsilon+\|\chi_{A}\|_{p}^{p}<\infty$ . También $\int |f-\chi_{A}|^{p}~\operatorname{d}\mu\leq\varepsilon^{p}$ Así que $\|f-\chi_{A}\|_{p}\leq\varepsilon$ .

Esto demuestra que siempre podemos aproximar funciones medibles a partir de $L^{p}(\mu)$ mediante funciones continuas en $L^{p}(\mu)$ para $1\leq p <\infty$ .

(Para $p=\infty$ esto falla de la siguiente manera. Consideremos Por ejemplo $X=[0,1]$ y $\mu=\mathcal{L}|[0,1]$ la medida de lebesgue Sea $A=[0,1/2]$ digamos. Supongamos que $f_{n}:X\to[0,1]$ eran continuas y $f_{n}\rightarrow \chi_{A}$ en $L^{\infty}(\mu)$ . Entonces $(f_{n})_{n}$ sería cauchy en el espacio de pulido $C(X,[0,1])$ y, por tanto, convergería dentro de ese espacio. Pero entonces el límite de la $f_{n}$ sería a la vez continua y no continua. Una contradicción).