Verificar que una variable aleatoria es un tiempo de parada

Question

Dejemos que $\lbrace X_{n}\rbrace$ sea un proceso estocástico adaptado a la filtración $\lbrace \mathcal{F}_{n}\rbrace$ . Dejemos que $B\subset \mathbb{R}$ estar cerrado. Entonces $$\tau(\omega):=\mathtt{inf}\lbrace n\in\mathbb{N}:X_{n}(\omega)\in B\rbrace $$ es un tiempo de parada.

Mi solución. Arreglar $k\in\mathbb{N}$ . Entonces $$\lbrace\tau=k\rbrace=\lbrace\omega:X_{k}(\omega)\in B, X_{n}(\omega)\notin B,n<k\rbrace=\lbrace \omega:X_{k}(\omega)\in B\rbrace\cap\bigcap_{n=0}^{k}\lbrace\omega:X_{n}(\omega)\notin B\rbrace$$ Ahora, $X_{k}$ es $\mathcal{F}_{k}$ -Medible, $B$ es un conjunto de Borel, por lo que $X_{k}^{-1}(B)\in \mathcal{F}_{k}$ . Desde $B$ cerrado, el complemento de $B$ es abierto, por lo que también es Borel, y para $n<k$ que tenemos, por la misma lógica, $X_{n}^{-1}(B^{c})\in\mathcal{F}_{n}\subset \mathcal{F}_{k}$ . La intersección de un número finito de elementos de $\mathcal{F}_{k}$ se encuentra en $\mathcal{F}_{k}$ Así pues, para cualquier $k$ es cierto que $\lbrace\tau=k\rbrace\in\mathcal{F}_{k}$ . Ahora bien, ¿es correcta esta solución? ¿Es necesario asumir la cerrazón de $B$ ? Tengo la sensación de que es suficiente con asumir que $B$ ser Borel, ¿no es así?

Answer 1

Como ya mencionó ByronSchmuland, su intersección debe terminar en el índice $k-1$ es decir

$$\{\tau=k\} = \ldots = \{\omega; X_k(\omega) \in B\} \cap \bigcap_{n=0}^{k-1} \{\omega; X_n(\omega) \notin B\}$$

La cerrazón de $B$ no es necesario para la prueba dada. Dado que $B$ es un conjunto de Borel también tenemos que $B^c$ es un conjunto de Borel (¡es una sigma-álgebra!), por lo que $X_n^{-1}(B^c) \in \mathcal{F}_n$ por el $\mathcal{F}_n$ -Medibilidad de $X_n$ .

Si se considera un proceso estocástico $(X_t)_{t \geq 0}$ No sería tan fácil demostrar que $\tau$ es un tiempo de parada - en este caso se suele suponer que $B$ es abierto (resp. cerrado) y la continuidad a la izquierda o a la derecha de los caminos $t \mapsto X_t(\omega)$ . Pero en este caso funciona bien, porque es un proceso en tiempo discreto.