¿Cómo es que $q\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}(pq)^n=\frac{1-\sqrt{1-4pq}}{2p}$ ¿se sigue de una Expansión de Taylor?

Question

Algunas notas que estoy leyendo dicen que (nota: $p=1-q$ )

$$q\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}(pq)^n=\frac{1-\sqrt{1-4pq}}{2p}$$

se desprende de una expansión de Taylor. No puedo ver esto. He intentado reescribirlo como

$$q\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\frac{(2n)!}{n!n!}(pq)^n=q\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1!}\frac{(2n)!}{n!}(pq)^n,$$ que no me lleva a ninguna parte (ni siquiera estoy seguro de lo que esperaba).

No puedo ver qué función ha sido ampliada por Taylor, ni en torno a qué punto.

Answer 1

Poniendo $x=pq$ Esto es sólo $$\sum_{n=0}^\infty\frac1{n+1}\binom{2n}{n}x^n=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.$$ Esta es la conocida función generadora de los números catalanes.

Para probarlo, empieza por la derecha. El $x^n$ coeficiente de la RHS es $(-1/2)b_{n+1}$ donde $b_{n+1}$ es el $x^{n+1}$ coeficiente de $(1-4x)^{1/2}$ . Usando el teorema del binomio, $$b_{n+1}=(-4)^{n+1}\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\cdots\left(-\frac{2n-1}2\right)\frac1{(n+1)!} =-2^{n+1}\frac{(2n-1)!!}{(n+1)!}=-2^{n+1}\frac{(2n)!}{2^n n!(n+1)!} =\frac{-2}{n+1}\binom{2n}n.$$ Aquí utilizamos $$(2n-1)!!=1\times3\times 5\cdots\times(2n-1)=\frac{(2n)!} {2\times4\times\cdots\times(2n)}=\frac{(2n)!}{2^nn!}.$$