La comprensión de lo que significa en ecuaciones en derivadas parciales

Question

He notado que los dos omisiones son frecuentes en el PDE de la teoría, hasta el punto de que incluso se ha presentado en los libros de texto y muy desanimado mi estudio de campo. Este es mi 5to intento de aprender el tema en serio, y me gustaría algunos consejos, por ejemplo en la forma de respuestas a las siguientes preguntas, gracias:

1. ¿Por qué es el espacio de la solución rara vez especificado? Incluso en la educación a distancia teoría, tenemos que decir que "Estamos buscando soluciones en el espacio de funciones continuas." (O más generalmente de $C^k$ donde $k$ es el orden de la DEQ, aunque vacuously ninguna función que no es suficiente con suavidad podría resolver una ODA en el sentido tradicional de la palabra.)
2. Hablando del sentido tradicional de la palabra frente a la distribución, o cualquier otra cosa que existe en el PDE de la teoría (he escuchado términos como "solución débil"), ¿cómo es que ninguna de estas cosas se presentaron en la educación a distancia teoría? En $d=1$ son todas las distribuciones de funciones? Soy consciente, sin pruebas, de un resultado que dice que todos los sistemas lineales tienen una distribución de la solución si y sólo si lo es, en cierto sentido, una función, por $d=1$. ¿Qué acerca de otros sistemas? No podía más ricas colecciones de soluciones obtenerse si hemos permitido que las distribuciones?
3. En tanto PDE y la educación a distancia teoría, me he dado cuenta sólo la mitad del problema se suele resolver, en el sentido de que los autores suelen tener una ecuación dada, y realizar operaciones sobre ella y terminan en alguna "solución". Pero esta solución no necesita realmente el trabajo, especialmente si noninvertible operaciones se utilizan, tales como la transformada de Fourier como se define en $L^1$. En la educación a distancia de la teoría, lo cual no permite las generalidades en 2., por lo general ha sido fácil para comprobar un acertado de la solución, de hecho, funciona. Aunque puede que no sea tan trivial, esto es lo que los autores están asumiendo en 3.? O es que hay algún tipo de acuerdo entre los inhibidores de la PDE teoría de que no todos los adivinado soluciones pueden funcionar realmente?

Answer 1

En general, el sentido de la solución (y el espacio) es un tema muy delicado. Tal vez, esta es la razón por la que algunos autores para evitar una explicación detallada en un libro de texto.

Permítanme señalar la dificultad de encontrar una solución de un lineal de la pde. Si la educación a distancia tiene un número finito de dimensiones del espacio de soluciones, el espacio vectorial de soluciones oa dado pde tiene un número infinito de dimensiones. Por supuesto, con un lineal de la pde la compacidad problema es aún más difícil.

Voy a tratar de explicarlo con un ejemplo. Hay "muchos" de los diferentes conceptos de soluciones. Consideremos la ecuación $$ y"(t)=-y, y(-\pi)=y(\pi)=0. $$ La solución de $y(t)=\sin(x)$ es una solución clásica porque verifica las condiciones de frontera (en el sentido clásico, es decir, mediante la evaluación) y verifica la ecuación en el sentido clásico del término (es decir, tomando la clásica derivados y ealuation en cada punto).

Vamos a denotar la transformada de Fourier por $\hat{v}$. Entonces, podemos definir el espacio $$ H=\{v | \int_{-\pi}^\pi (1+|\xi|^2)\hat{v}^2dx\}. $$ Podemos multiplicar la ecuación por $v$ e integrar por partes. Tenemos $$ \int u v'=\int uvdx\;\;\forall v\en H. $$ Bueno, si $u$ verifica la anterior integral de igualdad para todos los $v$$H$, lo que llamamos la función de una solución débil. Es una solución débil porque en general no tiene la necesaria regularidad para verificar la ecuación pointwise en el sentido clásico. Por supuesto, sin una periodicidad mínima de las condiciones de contorno no tiene sentido.

Hay algunos más sentido de la solución. Estos podrían estar relacionados con la singularidad. Por ejemplo, si consideramos la ecuación $$ |y'|=1,y(0)=y(1)=0, $$ vemos que no hay una única (débil) de la solución (creo que en diferentes triángulos). Ahora es cuando usamos lo que se llama "viscosidad" de la solución. Pero creo que esta es una muy larga la respuesta, así que voy a parar aquí.

Incluso si las ideas previas son indicados para los valores de límite de una oda (por lo tanto, algún tipo de análogo natural de la elíptica pse), estas ideas es el mismo para los evolutivo de la pde. De una evolución de la pde, el enfoque usual, es la regularización (en el orden que uno puede encontrar aproximado de soluciones de educación a distancia técnicas en espacios de Banach) y, a continuación, uno encuentra estima que garantiza un tiempo mínimo de existencia y un crecimiento máximo de la (espacial) de la norma (o, en general, "energía"). Con estos ingredientes (aproximadamente soluciones de + la buena estimaciones), uno invoca algunos teorema de compacidad y comprobar que el límite verifica la ecuación de acuerdo a la clásica/débil/distribución sentido.

Esperamos que esto les ayude un poco.