Calcular el tensor métrico de un tubo

Question

Definimos el tensor métrico como

\begin {bmatrix}X_t \cdot X_t & X_t \cdot X_u & \\X_t\cdot X_u & X_u \cdot X_u \\\end {bmatrix}

Así que dado $X(t,u)=\gamma(t)+(r\cos(u))N(t)+(r\sin(u))B(t)$ , donde $N(t)$ y $B(t)$ son los vectores normal y binormal de $\gamma(t)$ y $r\in\mathbb{R}$ ¿cómo calculamos el tensor métrico anterior? Creo que me estoy confundiendo en la parte del producto punto o en el uso de las ecuaciones de Frenet. Cada vez que intento calcular esto, no es lo que obtiene la página web que estoy utilizando...

Answer 1

Si $\gamma$ tiene la velocidad de la unidad, $$ X_t=T(1-kr\cos\ u) +\tau r\sin\ u N-\tau r\cos\ uB $$

$$ X_u=-r\sin\ u N +r\cos\ u B$$ para que $$ g_{tt}=(1-kr\cos\ u)^2+ \tau^2 r^2 $$

$$ g_{uu} = r^2,\ g_{tu}=-\tau r^2 $$ donde $g$ es una métrica