Pregunta Diffgeo sobre curvas y propiedades del producto punto

Question

Dejemos que $\gamma$ sea una curva tal que $\gamma(a)=p$ y $\gamma(b)=q$ y que $u$ sea un vector unitario.

A) Demostrar $\gamma'(t) \cdot u$ $\leq$ $\|\gamma’(t)\|$

Para ello utilizo las propiedades del producto punto, observando que $u=\frac{\gamma’}{\|\gamma\|}$ pero siempre acabo mostrando que las cantidades son iguales.

B) Utilizar las integrales de trayectoria para mostrar ( $\gamma(b)-\gamma(a)) \cdot u$ $\leq$ $\int_{a}^{b} \|\gamma'(t)\| dt$

Para este observo que $u=\frac{(q-p)}{\|(q-p)\|}$ y llegar a una conclusión descuidada.

C) Demostrar la longitud de la gamma de $p$ a $q$ es mayor o igual que la longitud de la línea recta entre $p$ y $q$ .

Esto es intuitivamente obvio, pero para la prueba observo que la línea recta dist es sólo $\|p-q\|$ y la longitud de gamma es la longitud del arco. El otro día me convencí de que tenía esta parte, pero ahora estoy confundido.

Espero que alguien pueda aclararme todo esto. Me disculpo por el terrible (falta de) formato

Gracias

Nick

Answer 1

Aquí tienes tres pistas.

A) Utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz $|\langle v, w \rangle|\leq \|v\| \|w\|$ . ¿Qué eliges para $v$ y $w$ ?

B) Utilizar el hecho de que para dos funciones reales $f$ y $g$ con $f\leq g$ , uno tiene $$ \int_a^b f(t)\,dt \leq \int_a^b g(t)\,dt. $$ Qué $f$ y $g$ ¿eliges tú?

C) Ahora has demostrado la desigualdad $$(\gamma(b)-\gamma(a))\cdot u \leq \int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt$$ para cada vector unitario $u$ . Obsérvese que el lado derecho $\int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt$ es la longitud de $\gamma$ . Elija una opción adecuada $u$ para mostrar $\|p-q\|$ es menor que la longitud de $\gamma$ .