¿La convexidad implica una continuidad absoluta?

Question

Lo siguiente está sacado de un examen:

$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ es convexo implica $f$ es absolutamente continua (recuerde $f'$ existe a.e.)

Se tiene la Lipschitz local por convexidad, pero ¿cómo demostrar la continuidad absoluta sin la Lipschitz global?

Answer 1

$f$ es continua ya que es absolutamente continua. Además, $f'$ existe en casi todas partes, y va en aumento. Así, $f'' \geq 0$ de donde $f$ es convexo.

Obsérvese que la continuidad es importante, ya que se puede mover un punto de la gráfica de una función convexa hacia arriba o hacia abajo haciendo que no sea convexa.

Answer 2

La afirmación no es cierta tal y como se ha dicho. De hecho, la función $$f(x) = \begin{cases}1 & \text{if } x = 0 \text{ or } x = 1 \\ 0 & \text{else}\end{cases}$$ es convexo en $[0,1]$ pero ni siquiera continua.

Sin embargo, si añadimos la continuidad (que sólo puede ser violada en los puntos finales), la afirmación es verdadera, aquí hay un (breve) esbozo de una posible prueba.

Dejemos que $\varepsilon > 0$ se le dará. Entonces, por continuidad en los puntos extremos y convexidad de $f$ (lo que implica cierta monotonía alrededor de los puntos finales), hay $\delta > 0$ , tal que la suma de las diferencias de valores de las funciones en $[a, a+\delta]$ y $[b-\delta,b]$ es menor que $\varepsilon$ si los subintervalos suman menos de $\delta$ . En el intervalo restante se puede argumentar por la continuidad de Lipschitz.