¿Cómo puedo resolver $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{k}{x})^x}}$ utilizando $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} {(1+\frac{1}{x})^x = e}}$ ? ¿Qué debo hacer con la constante " $k$ ?
Respuestas
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Tenga en cuenta que voy a suponer $k > 0$ .
Observe que $$\begin{align}\lim_{x\to\infty}\left(1 + \dfrac{k}{x}\right)^x &= \lim_{x\to\infty}\left(1 + \dfrac{k}{x}\right)^{kx/k}\\ &\overset{y=x/k}{=} \lim_{y\to\infty}\left(1 + \dfrac{1}{y}\right)^{ky}\\ &= \lim_{y\to\infty}\left(\left(1 + \dfrac{1}{y}\right)^{y}\right)^k\\ &= \left(\lim_{y\to\infty}\left(1 + \dfrac{1}{y}\right)^{y}\right)^k\\ &= e^k \end{align}$$
El intercambio de $(\cdot)^k$ y $\lim$ fue posible porque la función $x\mapsto x^k$ es continua.
La respuesta a su pregunta debería estar ahora clara. (La función $x \mapsto 1/x$ es continua en $(0, \infty)$ y por lo tanto, debería obtener $e^{-k}$ .)
Editar: Añadir el caso $k \le 0$ también.
No hace falta decir nada para $k = 0$ . Es claramente $1$ .
Supongamos que $k < 0$ . Antes de continuar, demostremos el siguiente lema.
Lema. $\displaystyle\lim_{y \to -\infty}\left(1 + \dfrac{1}{y}\right)^{y} = e.$
Prueba. Considere el límite $$L = \lim_{y\to-\infty}y\ln\left(1 + \dfrac{1}{y}\right) = \lim_{y\to-\infty}\dfrac{\ln\left(1 + \dfrac{1}{y}\right)}{1/y}.$$ Podemos evaluarlo mediante L'Hospital ya que el límite de la derecha es de la forma $0/0$ . Esto nos da $$L= \lim_{y\to-\infty}\dfrac{\left(1 + \dfrac{1}{y}\right)(-1/y^2)}{-1/y^2} = 1.$$
De esto se deduce que el límite original era $e^L = e$ .
Con este lema, el resultado para $k < 0$ sigue haciendo de nuevo la sustitución $y = x/k$ pero ahora observando que $y \to -\infty$ en su lugar.
Curiosamente, la respuesta en todos estos casos resulta ser $\boxed{e^{-k}}$ .
mrc ntn
Puntos
6
Los siguientes trabajos para $k \in \mathbb{R}$ Sólo tienes que utilizar $\ln(1+a)= a+O(a^2)$ para la pequeña a: $$ \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{(1+\frac{k}{x})^x}} = \lim_{x \to +\infty} (1+\frac{k}{x})^{-x} = \lim_{x \to +\infty} e^{-x \ln{ (1+\frac{k}{x})}} = \lim_{x \to +\infty} e^{-x \frac{k}{x} } = e^{-k} $$
