Encontrar el vector vertical al vector dado de R^4

Question

Dado el vector

a \=(5,6,7,13)

encontrar todos los vectores verticales a ella.

Digamos que el vector

c \=(x,y,z,w)

es el vector que queremos encontrar. Entonces,

a c \= 0

<=> 5x + 6y + 7z + 13w = 0

¿Qué puedo hacer además de esto para dar la respuesta? ¿Podría ayudar, por favor?

Answer 1

Puedes expresar $x=-\dfrac{6}{5}y-\dfrac{7}{5}z-\dfrac{13}{5}w.$ Denote $y=5\alpha$ , $z=5\beta$ , $w=5\gamma$ y sus soluciones son: $$\mathbf{c}=(-6\alpha-7\beta-13\gamma,\;5\alpha,\;5\beta,\;5\gamma)\quad \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}.$$

Answer 2

Por "vertical", creo que quieres decir ortogonal.

Ya has obtenido la respuesta, sólo tienes que escribirla en notación de conjuntos:

$\{(x,y,z,w)^T\in\mathbb{R}^4\mid5x + 6y + 7z + 13w = 0\}$

Si desea un vector concreto, puede establecer valores arbitrarios para $x,y,z$ y luego resolver para $w$ .

Por ejemplo, puede elegir $x=0,y=0,z=1$ . Esto obliga a $7+13w=0$ Así que $w=-7/13$ .

Así que un vector ortogonal particular es $(0,0,1,-7/13)$ .