Cómo definir una función

Question

Supongamos que $\gamma>0$ es GIVEN, quiero definir una función $f:[a, b]\to [c, d]$ que satisface las siguientes condiciones:

1. $f$ sea un difeomorfismo y $f'(x)>0$ para todos $x\in [a, b]$
2. $f'(a)=f'(b)=\gamma$

¿Hay alguna función con estas condiciones?

Answer 1

$$f(x)=\frac{x-a}{b-a}(d-c)+c$$

Editar: Para encontrar un $f$ para arbitrario $\gamma>0$ Puedes intentar encontrar primero la derivada y luego integrar. Mira por ejemplo

$$g(x)=\alpha\sin\left(\frac{x-a}{b-a}\pi\right)+\gamma$$

Entonces $g(a)=g(b)=\gamma$ y $g(x)>0$ . Integración de $g$ da

$$f(x)=-\alpha\frac{b-a}{\pi}\cos\left(\frac{x-a}{b-a}\pi\right)+\gamma x+\beta$$

$f$ es creciente, ya que $f^\prime(x)=g(x)>0$ . Ahora elija $\alpha, \beta$ tal que $f(a)=c$ y $f(b)=d$ .

Answer 2

Esta solución no es ni mucho menos la más sencilla; utilizaremos curvas de Bézier (véase wiki ).

Supongamos que $(d-c)>\gamma (b-a)$ .

Construiremos una curva cúbica de Bézier con $P_0= (a,c)$ - tu punto de partida, $P_3 = (b,d)$ - que terminas el punto, y $P_1= (b,c+\gamma(b-a))$ - la dirección de la derivada en el punto inicial, de forma similar, $P_2=(a, d-\gamma(b-a))$ - la dirección en el punto de llegada.

La curva de Bézier se escribe entonces en el plano $\Bbb R^2$ :

$$x(t) =a\cdot (1-t)^3 + b\cdot 3t(1-t)^2+ a\cdot 3t^2(1-t)+b\cdot t^3,$$ $$y(t) =c\cdot (1-t)^3 + (c+\gamma(b-a))\cdot 3t(1-t)^2+ (d-\gamma(b-a))\cdot 3t^2(1-t)+d\cdot t^3.$$

Es fácil demostrar que $t\to x(t)$ y $t\to t$ son estrictamente monótonas (basta con estudiar la derivada), por lo tanto, la aplicación inversa $x\to t(x)$ está bien definida (incluso más - es $C^1$ ).

Veamos la derivada de $y$ cuando $x=a$ (es decir $t=0$ ):

$$\frac{dy}{dt}\big|_{t=0} = \frac{dy}{dx}\big|_{x=a}\cdot\frac{dx}{dt}\big|_{t=0}. $$ Obtenemos $$ -3c+3(c+\gamma(b-a)) = \frac{dy}{dx}\big|_{x=a} \cdot 3(b-a), $$ que da $$\frac{dy}{dx}\big|_{x=a}=\gamma.$$ La prueba para $\frac{dy}{dx}\big|_{x=b}=\gamma $ se hace de forma similar.

Por monotonía estricta de $x $ y $y$ concluimos que la aplicación $y(x)$ es de hecho $[a,b]\to[c,d]$ y satisface las condiciones que usted impuso.

El caso $(d-c)<\gamma (b-a)$ requiere vectores ligeramente modificados $P_1$ y $P_2$ :

$$P_1=(a+(d-c)/\gamma,d),\quad P_2=(b-(d-c)/\gamma,c).$$

El caso $\gamma = \frac{d-c}{b-a}$ es trivial.

La intuición detrás de la elección de $P_1$ : queremos una derivada $\gamma$ Así pues, partimos de $(a,c)$ y vaya con la misma derivada constante $\gamma$ hasta llegar al límite de nuestra caja $[a,b]\times [c,d]$ . Del mismo modo, para $P_2$ simplemente vamos en otra dirección.

Answer 3

Un enfoque diferente. Construir $\phi\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ continua tal que

1. $\phi(x)>0$ para todos $x\in[a,b]$
2. $\phi(a)=\phi(b)=\gamma$
3. $\int_a^b\phi(t)\,dt=b-a$

Entonces $f(x)=\int_a^x\phi(t)\,dt$ satisface todos sus requisitos.

¿Cómo construimos $\phi$ ?

La función $$\phi(x)=\gamma+\frac{6(1-\gamma)}{(b-a)^2}(x-a)(b-x)$$ satisface 2. y 3. También satisface 1. si $\gamma<3$ . El correspondiente $f$ será un polinomio cúbico.

En el caso general, es fácil construir una línea a trozos $\phi$ . Números pequeños $\epsilon,\delta>0$ puede elegirse de manera que si el gráfico de $\phi$ es el segmento de línea que une los puntos $(a,\gamma)$ , $(a+\delta,\epsilon)$ , $(b-\delta,\epsilon)$ y $(b,\gamma)$ la condición 3. también se cumple.