Subgrupos finitos del grupo multiplicativo de campo

Question

Pregunta:

Sea F un campo de característica $0$ tal que $|F:\mathbb Q|=2$ y sea U un subgrupo finito de F*, el grupo multiplicativo de F. Demuestre que $|U|$ es 1, 2, 3, 4 o 6.

Intento de solución:

Sé que todos los subgrupos finitos del grupo multiplicativo de un campo son cíclicos. Estoy tratando de considerar subgrupos finitos de $\mathbb Q$ * (que creo que son sólo {1}, {1,-1}) y luego multiplicar por el elemento algebraico que se extiende $\mathbb Q$ a F, pero no consigo una solución.

Answer 1

Si el orden del grupo es $n$ entonces el generador es una raíz de la $n$ polinomio ciclotómico. El grado de este polinomio es $\phi(n)$ y debe ser $\le 2$ . ¿Qué puede decir sobre $\phi(n)$ si $p|n$ para algún primo $p>3$ ? ¿Y qué es $\phi(2^a3^b)$ con $a,b\ge 0$ ?