Demostrar que X no es un espacio de Banach

Question

$\newcommand\norm[1]{\left\lVert#1\right\rVert}$

Esta es una pregunta del libro de Royden:

Dejemos que $X$ sea el espacio lineal de todos los polinomios definidos en $\mathbb{R}$ . Para $p \in X$ , defina $\norm{p}$ sean las sumas de los valores absolutos de los coeficientes de $p$ . Demuestre que se trata de una norma en $X$ . Para cada $n$ definir $\psi_n: X \to \mathbb{R}$ por $\psi_n(p)=p^{(n)}(0)$ . Utilice las propiedades de la secuencia $\psi_n$ en $L(X,\mathbb{R})$ para demostrar que $X$ no es un espacio de Banach.

Para demostrar que $\norm{p}$ es una norma es sencillo. Pero ¿cómo puedo demostrar que $X$ no es un espacio de Banach utilizando esta definición? ¿Debo utilizar el Teorema de Banach-Saks-steinhaus?

Answer 1

Elige la secuencia { $p_n$ }; $\space n\ge 1$ de polinomios definidos por $$p_n(x)=\frac{x^n}{n^2}+ \frac{x^{n-1}}{(n-1)^2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^2}{2^2}+x+1$$

Se puede comprobar fácilmente que es una sucesión de Cauchy, pero su límite no es un polinomio debido a que hay infinitos términos, por lo que la sucesión no es convergente y $X$ no es Banach.

Answer 2

Quieres usar Banach-Steinhaus, y es una buena idea. Tienes una colección de funciones (obviamente lineales) $\phi_n$ . Demuestre que son continuas y que son convergentes puntualmente. ¿Están uniformemente acotadas?