¿Por qué podemos cubrir $\mathbb R^N$ con bolas abiertas de radio $r$ tal que cada punto esté en a lo sumo $N + 1$ bolas?

Question

<blockquote> <p>Si <span class="math-container">$N \geq 3$</span>, ¿por qué podemos cubrir <span class="math-container">$\mathbb R^N$</span> con bolas abiertas de un radio fijo <span class="math-container">$r$</span> tal que cada punto esté en a lo sumo <span class="math-container">$N + 1$</span> bolas?</p> </blockquote> <p>Esta es una afirmación en una prueba del Lema de desaparición de los Leones, como se presenta en <em>los Teoremas Minimax</em> de Willem (Lema 1.21). Probablemente muy simple, pero no soy capaz de escribir una prueba adecuada.</p>