En general, no es cierto que $(A_1\times A_2)\times A_3=A_1\times(A_2\times A_3)$ . Supongamos, por ejemplo, que $A_1=A_2=A_3=\{0\}$ entonces el único elemento de $(A_1\times A_2)\times A_3$ es $\big\langle\langle 0,0\rangle,0\big\rangle$ mientras que el único elemento de $A_1\times(A_2\times A_3)$ es $\big\langle 0,\langle 0,0\rangle\big\rangle$ y
$$\big\langle\langle 0,0\rangle,0\big\rangle\ne\big\langle 0,\langle 0,0\rangle\big\rangle\;,$$
porque $\langle 0,0\rangle\ne 0$ .
Qué es y lo que se supone que debes probar es que hay una biyección $f$ entre los productos cartesianos $(A_1\times A_2)\times A_3$ y $A_1\times(A_2\times A_3)$ . Supongamos que $\big\langle\langle a_1,a_2\rangle,a_3\big\rangle\in(A_1\times A_2)\times A_3$ y quieres elegir un elemento de $A_1\times(A_2\times A_3)$ para ser $f\left(\big\langle\langle a_1,a_2\rangle,a_3\big\rangle\right)$ ¿Cuál es la opción más obvia? Recuerda, tiene que ser algo de la forma $\big\langle x,\langle y,z\rangle\big\rangle$ , donde $x\in A_1$ , $y\in A_2$ y $z\in A_3$ .
Una vez que haya definido $f$ podemos preocuparnos de cómo seguir adelante.
Añadido: Para el paso de inducción, supongamos que para cualquier $n$ establece $A_1,\ldots,A_n$ se tiene una biyección de $((A_1 \times A_2) \times A_3) \times \ldots \times A_n$ a $A_1 \times (A_2 \times ( \ldots (A_{n-1} \times A_n) \ldots ))$ y quieres conseguir uno de $$(((A_1 \times A_2) \times A_3) \times \ldots \times A_n)\times A_{n+1}\tag{1}$$ a
$$A_1 \times (A_2 \times ( \ldots (A_{n-1} \times (A_n\times A_{n+1}) \ldots )))\;.$$
Dejemos que $B=A_n\times A_{n+1}$ . Su hipótesis de inducción le da una biyección desde
$$(((A_1\times A_2)\times A_3)\times\ldots A_{n-1})\times B\tag{2}$$
a $$A_1\times(A_2\times(\ldots(A_{n-1}\times B)))=A_1 \times (A_2 \times ( \ldots (A_{n-1} \times (A_n\times A_{n+1}) \ldots )))\;,$$
por lo que está hecho si puede encontrar una biyección entre $(1)$ y $(2)$ . Pero eso ya lo has hecho en la primera parte de esta respuesta: si dejas que $C=((A_1\times A_2)\times A_3)\times\ldots A_{n-1}$ entonces $(1)$ es $(C\times A_n)\times A_{n+1}$ y $(2)$ es $C\times(A_n\times A_{n+1})$ .
