Concavidad logarítmica de las matrices de Wishart generalizadas

Question

Dejemos que $X$ sea un azaroso $n \times d$ de tal manera que todas las entradas de $X$ se distribuyen como i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$ , distribución normal estándar.

Consideramos que el azar $d \times d$ matriz, $S : =X^T\cdot X$ que se distribuye como una matriz de Wishart $\mathcal{W}_d(\mathrm{I}_d, n)$ . Aunque la distribución normal es una medida logarítmica cóncava, no tiene por qué ocurrir lo mismo con $S$ que puede no ser logarítmico-cóncavo. Sin embargo, es bien sabido que si $d > n$ entonces $S$ resulta ser un tronco cóncavo.

Mi pregunta se refiere a una generalización de este hecho. Formalmente, dejemos que $X$ sea un azaroso $n \times d$ matriz con entradas i.i.d. tomadas de alguna medida cóncava logarítmica isotrópica $\mu$ . Supongamos además que $d > n$ ¿es cierto que la matriz aleatoria $X^T\cdot X$ ¿también es cóncavo el tronco?

Answer 1

Para dar respuesta a mi antigua pregunta.

No es necesariamente cierto $X^T\cdot X$ será cóncavo logarítmico cuando las entradas de $X$ son i.i.d. según alguna medida logarítmica cóncava $\mu$ .

Para un contraejemplo, tome cualquier medida logarítmica-cóncava $\mu$ que no es subgaussiano, por lo que si $v \sim \mu$ entonces $v^2$ no es subexponencial y, por lo tanto, no puede ser logarítmico cóncavo. Por lo tanto, las entradas en la diagonal de $X^T\cdot X$ no puede ser logarítmico cóncavo, lo que demuestra que $X^T\cdot X$ no es cóncavo logarítmico.