Problema con la integral $\int_A\frac{x+y}{(1+(x+y)^2)^2}dxdy$

Question

Tengo una integral $$ \int_A\frac{x+y}{(1+(x+y)^2)^2}dxdy $$ $A=\{(x,y):x>0,y\in\mathbb{R}\}$

Primero: $$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{x+y}{(1+(x+y)^2)^2}dxdy={1\over 2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy}{1+y^2}={\pi\over2}$$

Segundo intento: $$\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x+y}{(1+(x+y)^2)^2}dydx=\int_{0}^{\infty}0dx=0$$

Entonces, ¿debo concluir que la integral de Lebesgue no existe?

Answer 1

Tienes razón. Asumiendo que $f(x,y)=\frac{(x+y)}{(1+(x+y)^2)^2}\in L^1(A)$ , $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}f(x,y)\,dx\,dy=\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy\,dx \tag{1}$$ tiene que mantenerse, pero el LHS de $(1)$ es cero mientras que el RHS es $\frac{\pi}{2}$ Por lo tanto $f\not\in L^1(A)$ .

Answer 2

Algunos de los comentarios indican que todavía hay un poco de confusión sobre lo que está pasando, así que voy a añadir un poco más de detalle a la respuesta anterior.

Podemos calcular las dos integrales iteradas como sigue. Para la primera integral, la sustitución $u=1+(x+y)^2$ da $du=2(x+y)dx$ y $$\int^{\infty}_{-\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{(x+y)}{(1+(x+y)^2)^2}du dy=\frac{1}{2}\int^{\infty}_{-\infty}\int_{1+y^2}^{\infty}\frac{1}{u^2}du dy=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+y^2}dy=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+y^2}\;.$$ La última integral se evalúa como $\lim_{x\to \infty} tan^{-1}(x)=\pi/2$ . La otra integral es algo más matizada. Para cada $x$ la integral interna de la integral iterada puede evaluarse mediante la misma $u$ -sustitución. Esto conducirá a la integral de Riemann impropia $$\lim_{M\to -\infty}\lim_{N\to \infty}\int_{1+(x+M)^2}^{1+(x+N)^2}\frac{1}{u^2}=0\;.$$ Por lo tanto, la integral iterada debe ser cero. La cuestión aquí, por supuesto, es que el teorema de Fubini no se aplica. De hecho, el teorema de Fubini para $\sigma$ -implica que como las dos integrales iteradas no coinciden, la función $f(x,y)=\frac{(x+y)}{(1+(x+y)^2)^2}$ no puede estar en $L^1(A)$ (siempre que la integral impropia de Riemann sea finita coincide con la integral de Lesbesgue).