$\{g\in G: gU=V\}$ en un grupo polaco

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo polaco, es decir, un grupo topológico separable y metrizable por una métrica completa. Sea $U,V\subset G$ sea abierto, y considere el conjunto $$ \{ g\in G: gU=V\}.$$

Intento mostrar que este conjunto está abierto. A partir de los resultados estándar sobre grupos topológicos, basta con ver que tiene la propiedad de Baire (y, por tanto, basta con mostrar que es de Borel), pero no puedo demostrar que sea así.

¿Alguna idea?

Answer 1

Por si a alguien le resulta útil, he aquí una forma de hacerlo por si acaso $G$ es segundo contable (lo que obviamente incluye el caso polaco).

En primer lugar, tomando los complementos basta con ver que $$ \{g\in G: gE=F\} $$ es Borel para $E,F\subset G$ cerrado. Además, como $$gE=F \iff gE\subset F \wedge g^{-1}F\subset E$$ basta con estudiar el conjunto $\{g\in G: gE\subset F\}$ . Desde $G$ es segundo contable, también lo es $E$ y en particular $E$ es separable, es decir, existe un conjunto $\{h_n:n\in\mathbb{N}\}\subset E$ que es denso en $E$ . Ahora bien, como $F$ está cerrado,

$$gE\subset F \iff \forall n (gh_n\in F)$$

y esta última condición está cerrada ya que $Fh_n^{-1}$ está cerrado. Así, $\{g\in G:gE\subset F\}$ es cerrado, y en particular Borel.