para lo cual $a \in \mathbb{R}$ hace la serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^a}$ convergen

Question

Quiero mostrar para qué $a \in \mathbb{R}$ la serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^a}$ converge.

Para $a = 0$ la serie diverge

para $a < 0$ tenemos $\frac{1}{k^{-a}} = k^a$ y la serie diverge también, sin embargo no estoy seguro de cómo demostrar la convergencia/divergencia para $a > 1$ ( $a = 1$ es la serie armónica y también un límite superior para todo $0 < a < 1$ por lo que debería ser suficiente)

Así que lo que pregunto es: ¿cómo puedo demostrar para qué $ 1 < a < 2$ la serie converge (ya que sé que $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ converge)

Cualquier sugerencia, idea o comentario es bienvenido, gracias.

Answer 1

Una de las pruebas que puede demostrar que esta serie es convergente para $a>1$ es Prueba de condensación de Cauchy :

Para $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ siendo una secuencia no creciente de números no negativos, la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es convergente si y sólo si la serie $\sum_{n=1}^\infty 2^n a_{2^n}$ es convergente.

Para $a\ge 0$ la secuencia $a_n = n^{-a}$ es no negativo y no creciente, por lo que podemos aplicar esta prueba. Tenemos $$ \sum_{n=1}^\infty 2^n a_{2^n} = \sum_{n=1}^\infty 2^n \frac{1}{2^{na}} = \sum_{n=1}^ \infty (2^{1-a})^n$$

Esta es una serie geométrica, es convergente si $2^{1-a}<1$ Es decir $a>1$ .

Answer 2

Para $a\leq 1$ tiene razón, ya que para todos los $a\leq 1$ la serie diverge. De hecho, no es necesario dividir los tres casos de $a=0$ , $a<0$ y $0<a\leq 1$ porque en todo tres casos, la serie armónica es una baja (usted escribió superior que probablemente fue una errata), y como la serie armónica diverge, también deben hacerlo todas las demás series.

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Para $a>1$ La forma más fácil de mostrarlo sería probablemente el prueba integral de convergencia de la serie .

Answer 3

Esto es exactamente lo mismo que el teorema de la "prueba de la serie P".

Puede ver la prueba aquí

Answer 4

También se puede utilizar la prueba de integración de Cauchy. Es muy fácil comprobar que la integración es posible sólo cuando $a>1.$