Dejemos que $F$ ser un campo. ¿Es cierto que si $[F(\sqrt{D}) : F] = 2$ entonces $D \in F$ ?

Question

En Dummit & Foote, problema 14.2.17(c), los autores nos entregan una extensión cuadrática de la forma $F(\sqrt D)$ . Ahora bien, aunque estoy bastante seguro de que necesitas eso $D \in F$ para hacer este problema en particular, no puedo evitar preguntarme si asumir esto es incluso necesario. En otras palabras, si el grado de la extensión $F(\sqrt D)/F$ es $2$ entonces debe $D$ pertenecen a $F$ ?

Mis pensamientos hasta ahora son los siguientes: Si $D \not\in F$ entonces $[F(D) : F] > 1$ . Esto pone $\sqrt D \in F(D)$ Si no es así $$ 4 \le [F(\sqrt D) : F(D)][F(D):F] = [F(\sqrt D): F] = 2. $$ Esto nos dice que $F(D) = F(\sqrt D)$ . Mi siguiente observación fue que si $\sqrt D$ tiene un polinomio mínimo $x^2 + ax + b$ podemos escribir $\sqrt D$ en términos de $D$ y elementos de $F$ y utilizarlo para encontrar el polinomio mínimo de $D$ en $F$ : $$ \sqrt D = -(D + b)/a, \ m_{D, F}(x) = x^2 + (2ab - a)x + b^2. $$ Obsérvese que $a \neq 0$ o bien $D \in F$ ¡!

Answer 1

Esto es falso. Considere el caso de $F=\Bbb{Q}$ , $D=(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2.$

Tenemos $\sqrt{D}=\pm(1+\sqrt2)$ Así que $\Bbb{Q}(\sqrt D)=\Bbb{Q}(D)=\Bbb{Q}(\sqrt2)$ .

Answer 2

Si $[F(\sqrt D):F]=2$ la extensión es Galois con grupo $\{1,\sigma\}$ y $$ \sigma(\sqrt D)=a+b\sqrt D,\qquad a,b\in F. $$ Desde $\sigma^2=1$ debemos tener $\sqrt D=\sigma^2(\sqrt D)=a+ab+b^2\sqrt D$ es decir $$ a(b+1)=0\qquad\text{and}\qquad b^2=1. $$ Si $a=0$ y $b=-1$ se deduce fácilmente que $D\in F$ .

Por otro lado, si $a\neq0$ y $b=-1$ tenemos $$ F\ni{\rm N}(\sqrt D)=\sqrt D\cdot\sigma(\sqrt D)=a\sqrt D-D $$ de la cual $D={\rm N}(\sqrt D)-a\sqrt D\notin F$ . La respuesta de Jyrki Lahtonen muestra un ejemplo de esta última situación.