Prueba $P(X<Y)=1/2$ cuando $X$ y $Y$ i.i.d continuo (simetría)

Question

Me gustaría demostrar con la integral que $P(X < Y)=1/2$ cuando $X$ y $Y$ Variable aleatoria continua i.i.d (son simetría por tanto).

Lo he intentado con la llamada de convolución $Z=X-Y$ y $$P(Z<0)=\int\int f_X(z+y)f_Y(y)dydx$$ pero luego no fui capaz de llegar a un resultado.

Answer 1

$P(X<Y)=P(Y<X)$ porque $(X,Y)$ y $(Y,X)$ se distribuyen de forma idéntica. También $P(X=Y)=0$ porque la distribución común es continua. Por lo tanto, $P(X<Y)=P(Y<X)=\frac 1 2 (P(X<Y)+P(Y<X))=\frac 1 2$ .

Nota: $P(X=Y)=\int P(X=y) dF_Y(y)=0$ porque $P(X=y)=0$ para cada $y$ .

$P(X<Y)=\int I_{x<y} dF_X(x)dF_Y(y)=\int I_{x<y}dF_Y(y) dF_X(x)=P(Y<X)$ donde he utilizado el Teorema de Fubini para intercambiar las integrales.