Probabilidad de ganar el juego del tres en raya.

Question

A ti y a tu amigo os gusta jugar al tres en raya, pero no sois muy buenos. En cada turno, el jugador elige una casilla vacía al azar para colocar su marca. El juego termina cuando la primera persona consigue tres seguidas, como es habitual. Si haces el primer movimiento, ¿cuál es la probabilidad de que ganes la partida? Si haces el primer movimiento, ¿cuál es la probabilidad de que ganes la partida? Si la respuesta puede expresarse como $\frac{a}{b}$ Si a y b son coprimas, encuentra a+b.

Mi intento:

No de formas probables de organizar los símbolos del tic tac toe para ganar el juego

\=3 vías horizontales+3 vías verticales+2 vías cruzadas=8

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El número total de formas en que se pueden rellenar 3 espacios de 9 espacios=9C3.

Por lo tanto, el número total de resultados=El número total de formas en las que se pueden rellenar 3 espacios de los 9 existentes (y) Un espacio extra en el que se puede rellenar cualquiera de los dos símbolos del tres en raya=9C3*2

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Probability=8/(2*(9C3))=1/21

Answer 1

Este es el problema E1324 de la revista American Mathematical Monthly, junio-julio de 1958, p. 447. Según la solución, el primer jugador gana con probabilidad $$\frac{1}{126}\left(62 + 36\cdot \frac{13}{40}\right)=\frac{737}{1260}.$$ Ver los detalles AQUÍ .

Answer 2

Esto no es correcto. Acabas de calcular la probabilidad de que si pones al azar tres X, que te salga un tres seguido... eso no es en absoluto lo mismo que la probabilidad de ganar cuando empiezas y juegas una partida contra un oponente, aunque ambos pongáis piezas al azar. Por un lado, hay muchas más partidas posibles que $9 \choose 3$ y muchos de ellos resultan en un empate. Además, si tu oponente gana, ese oponente ganará por uno de los 8 "tres en raya".

Finalmente, sólo por estimación/juicio bruto $\frac{1}{21}$ parece baja... es cierto que hay muchas partidas que terminan en empate, por lo que esas cuentan en contra de que ganes, pero sólo intuitivamente uno pensaría que la probabilidad de que ganes cuando empiezas y ambos jugáis al azar debería ser mayor que $\frac{1}{21}$

Answer 3

Parece que hay un error en la respuesta aceptada de 1958 arriba, o en mi intento de verificarla. Perdonen mi método de fuerza bruta y las ineficiencias del código (python) de abajo, pero es sólo un juego de 3x3, y a menos que me esté perdiendo algo, hay 255168 nodos de hoja de ganar/perder/sacar en el árbol, y las probabilidades correspondientes:

Primer jugador: 0.514108
Segundo jugador: 0.305305
Juego de sorteo: 0.180587

(en contraste con la solución de 1958 de: 0,584850, 0,288275, 0,126875)

def winner(board, xwin=(1,1,1), owin=(2,2,2)):
#{
    for r in range(3):
        tup = tuple(board[r])
        if tup == xwin: return 1
        if tup == owin: return 2

    for c in range(3):
        tup = (board[0][c], board[1][c], board[2][c])
        if tup == xwin: return 1
        if tup == owin: return 2

    for tup in [(board[0][0], board[1][1], board[2][2]),
                (board[2][0], board[1][1], board[0][2])]:
        if tup == xwin: return 1
        if tup == owin: return 2

    return 0
#}

def play_all_games(wins, losses, draws, player=1, board=None, mvnum=0):
#{
    if not board: board = [[0] * 3 for _ in range(3)]

    x = winner(board)
    if x == 1: wins[0] += 1
    elif x == 2: losses[0] += 1
    elif mvnum == 9: draws[0] += 1
    else:
        for r in range(3):
            for c in range(3):
                if board[r][c] == 0:
                    board[r][c] = player
                    play_all_games(wins, losses, draws, 
                                   2 if player == 1 else 1, 
                                   board, mvnum+1)
                    board[r][c] = 0
#}

wins, losses, draws = [0], [0], [0]
play_all_games(wins, losses, draws)

ngames = wins[0] + losses[0] + draws[0]
print(f"First player: {wins[0] / ngames:.6f}")
print(f"Second player: {losses[0] / ngames:.6f}")
print(f"Draw game: {draws[0] / ngames:.6f}")
print(f"\nWins/losses/draws/total: {wins[0]}/{losses[0]}/{draws[0]}/{ngames}")

Answer 4

Todo el mundo se equivoca con esta pregunta. Porque si se juega de verdad, todas las partidas acaban en tablas. Pero la pregunta es: ¿cuáles son las posibilidades? Usted tiene $9$ lugares, $X$ movimientos 1. hay $3$ movimientos para $X$ esquina, lado, centro. $O$ se mueve en 2º lugar, fuera de un $X$ movimiento de esquina hay $5$ posibilidades de $O$ , un $X$ movimiento lateral hay $5$ posibilidades de $O$ y de un $X$ movimiento medio hay $2$ posibilidades de $O$ . Así que al final de $2$ vueltas sólo hay $12$ posibles juegos así para. Así que la pregunta es, ¿cuántas posibilidades hay al final de $9$ ¿Movimientos? ¿Cuántos hace $X$ ¿Ganar? ¿Cuántas gana $O$ ¿Ganar? ¿Cuántos terminan en empate?