Necesito ayuda para comparar dos construcciones "diferentes" de homología de grupo.
Dejemos que $G$ sea un grupo finito y que $A$ ser un $G$ -módulo.
Entiendo la definición de homología de grupo como se suele hacer: $H_{q}(G,A)=\operatorname{Tor}_{q}^{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},A)$ .
Es decir, tomamos una resolución proyectiva (en la categoría de $\mathbb{Z}[G]$ -) de $\mathbb{Z}$ (acción trivial):
\begin {Ecuación} \dots\to P_{2} \to P_{1} \to P_{0} \to \mathbb {Z} \to 0, \end {equation} entonces tensorizamos esto con $A$ obteniendo una secuencia exacta. A continuación, cortamos el término que implica $\mathbb{Z}$ :
\begin {Ecuación} \dots\to A\: \otimes P_{2} \to A\: \otimes P_{1} \to A\: \otimes P_{0} \to 0, \end {equipo} y la homología de este complejo da la homología del grupo Bien. (Esto es correcto, ¿verdad?)
La otra construcción se encuentra en el libro "Cohomology of Number Fields", de J. Neukirch.
Hace más o menos lo mismo, pero después de tensar con $A$ toma "coinvariantes" de la secuencia exacta tensada
(recordemos que las coinvariantes de un $G$ -Módulo $M$ se define como $M_{G}=M/DM$ donde $DM$ es el submódulo generado por elementos de la forma $gm-m$ )
Así, después de tomar estas coinvariantes, obtiene un complejo y luego toma la homología de este complejo:
El autor no explicita si el tensado se produce en la categoría de grupos abelianos o $G$ -módulos y creo que esta puede ser la diferencia. Además, en la segunda versión, no se menciona la posibilidad de "cortar" el $\mathbb{Z}$ plazo.
¿Qué relación tienen?
Se agradece la ayuda. Gracias
