Ejemplo sencillo de un haz de líneas amplio que no es muy amplio

Question

Busco un ejemplo muy concreto y sencillo de un haz de líneas $L$ (en una curva o una superficie) que es amplia, pero no muy amplia. También me gustaría que $L^{\otimes k}$ es muy amplio para un pequeño $k$ en el sentido de que puedo hacer un cálculo muy práctico y demostrar que, digamos, todo grado $3$ monomios en ciertas secciones globales producen una inmersión en el espacio proyectivo. Muchas gracias por adelantado.

Answer 1

(Permítanme recopilar los comentarios en una respuesta de CW. Los demás podrán editar la respuesta para añadir sus propios favoritos).

He aquí un par de ejemplos sencillos, y uno no tan sencillo. Obsérvese que cualquier haz de líneas de grado $\geq 2g+1$ en una curva de género $g$ es muy amplio, por lo que cualquier haz de líneas de grado positivo sobre una curva es amplio.

1. El haz canónico $K$ en una curva hiperelíptica de género $\geq 2$ . Secciones de $K$ definen una cobertura de 2:1, por lo que $K$ se genera globalmente y es amplia, pero no muy amplia. Por otro lado $K^2$ es muy amplio: para $g \geq 3$ esto es inmediato por el comentario anterior; para $g=2$ el argumento es un poco más complicado (Hartshorne IV.3.1).

2. Cualquier paquete $L=O_C(p)$ donde $p$ es un punto de una curva elíptica $C$ . Riemann-Roch muestra que dicho haz tiene un espacio de secciones globales de 1 dimensión, por lo que no es muy amplio, ni siquiera está generado globalmente, pero tiene grado positivo, por lo que es amplio. Por otra parte $L^3$ es muy amplio, e incorpora $C$ en $\mathbf{P}^2$ como un cúbico suave, con $p$ mapeo a un flex.

3. Si $C$ es una curva de género $2$ y $p,q,r$ son puntos generales en $C$ , entonces el haz $L=\mathcal{O}_C(p+q-r)$$ es amplia, pero tiene no secciones globales en absoluto.

4. Para un ejemplo más complicado, se podría considerar la llamada Superficie de Godeaux . Se trata de un tipo particular de superficie de tipo general construida como cociente de una superficie quíntica en $\mathbf{P}^3$ . Tiene la propiedad de que el haz canónico $K_S$ es amplia, pero no tiene secciones globales. Para más detalles, véase la excelente respuesta de Clay Cordova aquí . Lamentablemente, en este caso no sé qué poder de $K$ es necesario para obtener un paquete muy amplio.

Answer 2

Dejemos que $X$ sea una curva proyectiva no singular y $L$ sea un haz de líneas en $X$ . Entonces $L$ es amplia si y sólo si deg $L> 0$ . (véase: haces vectoriales amplios, Proposición 7.1 de Hartshorne) No es difícil ver que un haz de líneas $L$ sobre una curva elíptica es muy amplia si y sólo si deg $L \geq 3$ .