Resolver una ecuación compleja $z^3 = 4\bar{z}$

Question

Estoy tratando de resolver para todos los valores de z donde $z^3 = 4\bar{z}$ .

Intenté usar $z^3 = |z|(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)$ y que $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ Así que..: $$z^3 = \sqrt{x^2+y^2}(\cos(3\theta)+\sin(3\theta))$$ y $$4\bar z = 4x-4iy = 4r\cos(\theta)-i4r\sin(\theta)$$ pero no tengo ni idea de a dónde ir a partir de ahí.

Answer 1

Si $z^3=4\overline z$ entonces $z^4=4z\overline z=4|z|^2$ . Así que, $|z|^4=|z^4|=4|z|^2$ y por lo tanto $z=0$ o $|z|=2$ . Así que, a menos que $z=0$ , $z$ puede escribirse como $2(\cos\theta+i\sin\theta)$ , en cuyo caso $$z^3=4\overline z\iff8\bigl(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)\bigr)=8(\cos\theta-i\sin\theta).$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

pista

$z=0$ es una solución.

Poner $$z=r(\cos(t)+i\sin(t))=re^{it}$$

con $ r>0$ .

la ecuación se convierte en

$$r^3e^{3it}=4re^{-it}$$

o

$$r^2e^{4it}=4=4e^{2ik\pi}$$

así

$$r^2=4$$ y $$4t=2k\pi$$

Las soluciones son $$z=2\Bigl(\cos(k\frac{\pi}{2})+i\sin(k\frac{\pi}{2})\Bigr)$$

con $ k\in\{0,1,2,3\}$

El conjunto de la solución es $$S=\{0,2,2i,-2,-2i\}$$

Answer 3

¿Qué te parece esto? Diga $z = \cos(\theta) + i \sin (\theta)$ como tú dices. Entonces básicamente sabemos que $3 \theta = 2\pi - \theta$ así que $\theta$ va a ser $\frac{\pi}{2}$ y $z$ es puramente imaginario.

Si la magnitud es $m$ entonces tenemos $m^{3}=4m$ así que $m=2$ . Creo que la respuesta es $2i$ . ¿Funciona?

$(2i)^{3}=-8i$ y $4\cdot \overline{2i}=-8i$ . Son iguales así que... Sí :)

Pero no obtuve todos los valores posibles para $\theta$ . Si escribimos $3 \theta = 2n\pi - \theta$ para $n=0,1,2,3$ podemos leer $\theta=0,\frac{\pi}{2},\pi$ y $\frac{3\pi}{2}$ por lo que se obtienen valores de $i=2,2i,-2$ y $-2i$ y todos vuelven a marcar la ecuación.

Ah, y acabo de ver que alguien más señaló que $z=0$ obras. ¡Claro que sí!

Answer 4

Sólo por diversión, hagamos esto ampliando $(x+iy)^3=4(x-iy)$ con $x,y\in\mathbb{R}$ y separar las partes reales e imaginarias. Terminamos con

$$x(x^2-(3y^2+4))=0\quad\text{and}\quad y(y^2-(3x^2+4))=0$$

Si $x=0$ entonces $y(y^2-4)=0$ Así que $y=0,\pm2$ Por lo tanto $z=0$ , $2i$ y $-2i$ son soluciones.

Si $x\not=0$ , entonces debemos tener $x^2=3y^2+4$ , lo que implica $y(y^2-(9y^2+12+4))=-8y(y^2+2)=0$ . La única solución real es $y=0$ que lleva a $x^2=3\cdot0^2+4=4$ o $x=\pm2$ . Así que $z=2$ y $-2$ también son soluciones.

En todo lo que tenemos $z=0,2,2i,-2$ y $-2i$ como soluciones de $z^3=4\overline{z}$ .