Sea una secuencia definida por $a_0=1$ y $a_{n+1}=\sqrt{3a_n+4}$. Demuestra por inducción que $0\le a_n \le 4$ para todo n.
¿Por alguna razón no puedo averiguar cuál es mi hipótesis? Sé que mi caso base es $a_0$ pero ¿qué debo asumir? ¿Debo aislar $a_n$? ¡Cualquier respuesta a estas preguntas o pista sería apreciada!
Caso base:
Para $n=0$, tenemos $a_0=1$, por lo tanto $1 \le a_0 \le 4$.
Así que la afirmación es verdadera para $n=0$.
Hipótesis de inducción:
Supongamos que la afirmación es verdadera para algún $n=k$, donde $k\ge0$ y $k \in \mathbb Z$.
Entonces, tenemos $$1\le a_k \le 4$$
Paso inductivo:
Consideremos ahora para $n=k+1$. A partir de la relación de recurrencia dada, tenemos
$$a_{k+1}=\sqrt{3a_k + 4}$$ Usando la hipótesis inductiva, $$1\le a_k \le 4$$ $$3\le 3a_k \le 12$$ $$7\le 3a_k + 4 \le 16$$ $$\sqrt{7}\le \sqrt{3a_k + 4} \le \sqrt{16}$$ $$1<\sqrt{7}\le \sqrt{3a_k + 4} \le 4$$ $$1\le a_{k+1} \le 4$$
Por lo tanto, siempre que la afirmación sea verdadera para $n=k$, también es verdadera para $n=k+1$.
Usando el principio de inducción matemática, es verdadero para todo $n\ge0$, $n\in \mathbb Z$
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Su inicialización sería $a_0\le4$, lo cual es cierto. La hipótesis de inducción es $a_n\le4$, la cual luego necesitas usar para demostrar que $a_{n+1} = \sqrt{3a_n + 4}\le4$.