Componentes conectados de esquemas sobre $\mathbb{F}_1$

Question

Estoy leyendo el documento de Deitmar sobre Esquemas de más de $\mathbb{F}_1$ . La proposición 2.4. establece que para un esquema $X$ en $\mathbb{F}_1$ existe una biyección entre $X(\mathbb{F}_1)$ y el conjunto de componentes conectados de $X$ . No entiendo la prueba, que es bastante incompleta. Esto es lo que pienso:

Elementos de $X(\mathbb{F}_1)$ corresponden a morfismos $\mathrm{Spec}(\mathbb{F}_1) \to X$ , donde $\mathrm{Spec}(F_1)$ es el punto junto con la gavilla monoide trivial $1$ . Estos morfismos corresponden a un punto $x \in X$ junto con un homomorfismo local $\mathcal{O}_{X,x} \to \{1\}$ . Pero esto es único y existe si $\mathcal{O}_{X,x} = \mathcal{O}_{X,x}^*$ , es decir, si el tallo es realmente un grupo. Ahora a tal punto debemos asociar al subconjunto cerrado irreducible $\overline{\{x\}} \subseteq X$ . Pero, ¿por qué debería ser un componente conectado y por qué todos surgen de esta manera?

Puedo demostrar que todo esquema irreducible sobre $\mathbb{F}_1$ tiene exactamente un punto genérico. Entonces, ¿quizás la proposición 2.4 debería hablar de componentes irreducibles? Estoy un poco confundido. Además la prueba de Deitmar sugiere implícitamente que cada $X$ es la unión disjunta de sus componentes conectados, es decir, que son abiertos, pero ¿por qué debería ser esto cierto? Para los esquemas ordinarios, esto es cierto al menos en el caso noetheriano.

Answer 1

Creo que se trata de una simple afirmación topológica utilizando los siguientes hechos:

1. Todo conjunto afín tiene un único punto genérico.

2. Todo conjunto abierto contiene un subconjunto abierto afín.

Dejemos que $X$ sea un esquema sobre $F_1$ . Si $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos afines con $U\cap V\ne \emptyset$ entonces sus puntos genéricos coinciden, ya que ambos puntos genéricos también forman un punto genérico de cualquier subconjunto afín de $V\cap U$ que es único.

Dejemos ahora $U$ sea un subconjunto abierto afín de $X$ con el punto genérico $\eta$ . Sea $Y$ sea la unión de todos los subconjuntos afines abiertos $V\subset X$ que contienen $\eta$ . Entonces todo subconjunto abierto de $Y$ contiene $\eta$ lo que implica que $Y$ está conectado. Además, $Y$ está abierto. Demostramos que también es cerrado. Sea $Z$ sea su complemento y que $z\in Z$ un punto. Sea $W$ sea una vecindad afín de $z$ . Si $W$ tiene una intersección no vacía con $Y$ entonces el punto genérico de $W$ coincide con $\eta$ Por lo tanto $W$ es un subconjunto de $Y$ por la definición de $Y$ . Por lo tanto, $W\cap Y=\emptyset$ Así que $W\subset Z$ y $Z$ contiene una vecindad abierta de cada uno de sus puntos, por lo que $Z$ está abierto.

Por lo tanto, obtenemos una biyección entre el conjunto de componentes conectados de $X$ y el conjunto de puntos genéricos de los subesquemas abiertos afines.

A continuación, para cualquier subesquema abierto afín $U$ existe un morfismo único desde $Spec(F_1)$ a $U$ que mapea el punto único de $Spec(F_1)$ al punto genérico de $U$ .

Concluimos que $Hom(Spec(F_1),X)$ está en biyección con $\pi_0(X)$ .