¿Cómo se puede ampliar $\sqrt{r^2+a^2}-r$ a $\frac{a^2}{2r}-\frac{a^4}{8r^3}+\frac{a^6}{16r^5}$ ?

Question

El problema y la solución se adjuntan como fotos a continuación.

Entiendo todas las partes de la solución, excepto la línea de arriba "Por inspección..." donde $V(r,\theta=0)$ se expande. He intentado una expansión taylor, expansión taylor + binomio, etc, en vano, pero tal vez no sé lo que estoy haciendo. ¡Se agradece mucho la ayuda!

Recuerda que asumimos r>~a en la parte b. La solución proviene de una fuente de confianza.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta el factor de $r$ tener $r\sqrt{1 + (a/r)^2}$ y luego Taylor expande $y = \sqrt{x}$ sobre $x=1.$ Las derivadas implican multiplicar $(-1/2)$ por $(-3/2)$ por $(-5/2)$ por ... por lo que tenemos que utilizar un doble factorial ( $m!! = 1\cdot 3\cdot 5 \cdot \dots \cdot m$ ) para el numerador, $2^n$ para el denominador. Elección de $(-1)!! = 1$ para simplificar, encontramos que $y^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}~x^{-n+1/2}~(2n-3)!!~/ 2^n$ y por lo tanto: $$\begin{array}{rl}\sqrt{1 + \delta x} =& 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(2n-3)!!}{2^n~n!}~(\delta x)^n\\ =& 1 + \frac12~\delta x - \frac18 \delta x^2 + \frac 1{16}\delta x^3 - \frac 5{128} \delta x^4 + \frac7{256} \delta x^5 -\dots \end{array}$$ y juntando ambos multiplicando a través de la serie por $r$ produce esa expresión siempre y cuando $-1 < (a/r)^2 < 1.$

Existe una expresión algo más sencilla para esto, pero requiere saber que $(-1/2)! = \sqrt{\pi},$ que quizá no hayas encontrado todavía.

Answer 2

Es el teorema binomial habitual $$(1+x) ^{n} =1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{3}+\dots\tag{1}$$ que es válido para todos los $n$ y todos $x$ con $|x|<1$ . Ahora $$\sqrt{r^{2}+a^{2}}-r=r\{\sqrt{1+(a/r)^{2}}-1\}=r\{(1+(a/r)^{2})^{1/2}-1\}\tag{2}$$ Desde $r>a$ la expresión $(a/r) ^{2}$ es menor que $1$ y podemos aplicar el teorema del binomio (poniendo $x=(a/r) ^{2},n=1/2$ en $(1)$ ) para obtener $$(1+ (a/r)^{2})^{1/2}=1+\frac{a^{2}}{2r^{2}}-\frac{a^{4}}{8r^{4}}+\frac{a^{6}}{16r^{6}}+\cdots $$ Restando $1$ de la expresión anterior y multiplicando el resultado por $r$ obtenemos la fórmula deseada para la expresión de la ecuación $(2)$ .

Answer 3

La expansión de Taylor es, en efecto, la clave aquí, pero hay que tener en cuenta qué variable se está expandiendo. Aquí, dependiendo de la distancia $(r)$ que te alejas del disco, más pequeño es el disco para ti y menos importa su estructura extendida por lo que $a$ es "pequeño" para sus propósitos. Entonces deberíamos Taylor ampliar alrededor de $a=0$ .

No quieres que Taylor se expanda por $r=0$ porque eso sería asumir que $r$ es pequeño pero se da en el problema que $r>a$ .

Así que decimos \begin {Ecuación} f(a) = \sqrt {r^2+a^2} = f(0) + f'(0)~a + \frac {1}{2}f''(0)~a^2+ \frac {1}{3!}f''(0)~a^3 + \frac {1}{4!}f^{(4)}(0)~a^4 + \theta (a^5) \end {Ecuación}

Ahora las derivadas de $\sqrt{r^2+a^2}$ son

\begin {align} \frac { \partial }{ \partial a} \sqrt {a^2+r^2} = \frac {a}{ \sqrt {r^2+a^2}~, \\ \frac { \partial ^2}{ \partial a^2} \sqrt {a^2+r^2} = \frac {1}{ \sqrt {r^2+a^2}}- \frac {a^2}{(r^2+a^2)^{3/2}}~, \\ \frac { \partial ^3}{ \partial a^3} \sqrt {a^2+r^2} = - \frac {3a r^2}{(r^2+a^2)^{5/2}}~, \\ \frac { \partial ^4}{ \partial a^4} \sqrt {a^2+r^4} = \frac {12 a^2 r^2}{(r^2+a^2)^{7/2}} - \frac {3r^4}{(r^2+a^2)^{7/2}} \\ ... \end {align}

por lo que la evaluación de estos en $a=0$ (sólo las derivadas 2ª y 4ª son distintas de cero en $a=0$ ) y al introducirlo en nuestra expansión de Taylor obtenemos

$$ \sqrt{r^2+a^2} = \frac{a^2}{2r} - \frac{a^4}{8r^3} + \theta(a^5)~~. $$

Te dejaré como ejercicio que calcules las derivadas 5ª y 6ª con respecto a $a$ para ver si puede coincidir con la expresión de su solución.