No entiendo la definición de límite de un conjunto

Question

Vi esta definición de límite de un conjunto en un libro.

El límite de $A\subseteq X$ es $(\overline{X\setminus A})\cap \bar{A}$

Ahora bien, esto no tiene sentido para mí porque ¿no significa simplemente que el límite está siempre vacío?

Considere $X=\{1,2,3,4,5\}$ , $A=\{4,5\}$

$X\setminus A=\{1,2,3\}$

$\overline{X\setminus A}=\{4,5\}$ ¿esta intersección con no A está vacía? Entonces, ¿el límite está siempre vacío?

Answer 1

Como señala @zkutch se necesita una topología para definir lo que es un límite. Pero el límite de A es el conjunto mínimo, cuya unión con el interior de A da un conjunto cerrado.

Suponiendo que estás trabajando con la topología discreta, entonces los singletons son cerrados, por lo que tu A y su complemento son tanto cerrados como abiertos. Haciendo que la frontera esté vacía. Pero la topología trivial no siempre es interesante.

Trabajemos con $\mathbb{R}$ y la topología estándar. Allí el conjunto $(0,1)$ es abierto y su cierre es $[0,1]$ su complemento es $(-\infty,0]$ y $[1,\infty)$ y está cerrado. Ahora bien, intuitivamente se diría que el límite es 0 y 1, que es exactamente lo que obtenemos al intersecar ambos cierres.