¿Cómo puedo encontrar una función abierta discontinua a partir de subconjuntos en $\mathbb{R}^2$ a subconjuntos en $\mathbb{R}^2$ inducido con la topología euclidiana.

Question

Dejemos que $A,B \in \mathbb{R}^2$ con la topología euclidiana y que $f:A \rightarrow B$ . Puede $f$ sea abierta, pero no cerrada ni continua? No he podido encontrar una función de este tipo. ¿Hay algún subconjunto que pueda mirar y que me ayude a resolver esto?

Answer 1

SUGERENCIA: Deja que $A=\Bbb R^2$ , $$B=(\Bbb Q\times\{0\})\cup\big((\Bbb R\setminus\Bbb Q)\times\{1\}\big);,$$ y

$$f:A\to B:\langle x,y\rangle\mapsto\begin{cases} \langle x,0\rangle,&\text{if }x\in\Bbb Q\\ \langle x,1\rangle,&\text{if }x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q\;. \end{cases}$$

Demostrando que $f$ no es continua es muy sencillo. Para demostrar que $f$ está abierto, tenga en cuenta que si $U$ es un nbhd abierto de $\langle x,y\rangle$ en $\Bbb R^2$ hay intervalos abiertos $I$ y $J$ en $\Bbb R$ tal que $$\langle x,y\rangle\in I\times J\subseteq U\;.$$ Para demostrar que $f$ no es cerrado, considere el gráfico de $y=\dfrac1x$ .