Demostración de que la suma de normales independientes es normal mediante convoluciones

Question

Dejemos que $X, Y$ sean variables aleatorias normales independientes. Ya sabemos que $X+Y$ es normal con media 0 y varianza 2. Sin embargo, estoy tratando de demostrar este resultado de una manera ligeramente diferente a la habitual, es decir, utilizando convoluciones.

Podemos abordar el problema de la siguiente manera: la suma de las dos variables tiene una densidad $h(x)$ dado por el producto de convolución de las densidades de las dos variables, digamos $f$ y $g$ para que

$$ h(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y)dy. $$

Sin embargo, $$ f(y) = g(y) = \frac{1}{\sqrt {2\pi}}\exp(-y^2/2). $$

Por lo tanto, ahora la integral se convierte en:

$$ h(x) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-(x-y)^2/2)\exp(-y^2/2)dy. $$

Sin embargo, estoy desconcertado. ¿Cómo debemos seguir a partir de aquí? No veo cómo transformar esta integral en la integral de una v.r. normal de tipo $N(0,2)$ . Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

La integral se convierte en

$$ h(x) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-(\color{red}z-y)^2/2)\exp(-y^2/2)dy$$

debido a $x=z-y$

$$h(x) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-(z^2-2zy+y^2)/2)\exp(-y^2/2)dy$$

Centrarse en los exponentes

$-(y^2/2+y^2/2-zy)-z^2/2$

Completar el cuadrado

$-(y^2-zy+z^2/4)+z^2/4-z^2/2$

$-(y-z/2)^2-z^2/4$

$$h(x) =\frac{1}{2\pi}\cdot \exp(-z^2/4)\cdot \int_{-\infty}^{\infty}\exp(-(y-z/2)^2)dy$$

$$h(x) =\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\cdot \exp(-z^2/4)\cdot \underbrace{\frac1{\sqrt \pi}\cdot \int_{-\infty}^{\infty}\exp(-(y-z/2)^2)dy}_{=1}$$

Para ver que esta última expresión es igual a 1 se puede sustituir $y-z/2$ por $t$ .