Función de densidad de probabilidad vs. función de masa de probabilidad

Question

Tengo una confesión que hacer. He estado usando pdf's y pmf's sin saber realmente lo que son. La idea que he tenido durante tanto tiempo es que densidad = área bajo la curva pero si lo veo de esa manera, muchas veces no tiene sentido cuando nos referimos a la masa de una variable aleatoria en distribuciones discretas. ¿Cómo puedo interpretar esto? ¿Por qué llamamos masa o densidad en lugar de otra cosa?

p.s. Por favor, siéntase libre de cambiar la pregunta en sí misma de una forma más comprensible si cree que es una pregunta lógicamente errónea.

Answer 1

(Esta respuesta toma como punto de partida la pregunta del OP en los comentarios, "Permítanme entender la masa antes de ir a la densidad. ¿Por qué llamamos masa a un punto de la distribución discreta? ¿Por qué no podemos llamarlo simplemente punto?")

Sin duda podríamos llamarlo un punto. La utilidad del término "función de masa de probabilidad", sin embargo, es que nos dice algo sobre cómo la función en el entorno discreto se relaciona con la función en el entorno continuo debido a las asociaciones que ya tenemos con "masa" y "densidad". Y creo que para entender por qué utilizamos estos términos en primer lugar tenemos que empezar con lo que llamamos la función de densidad. (De hecho, no estoy seguro de que siquiera utilizáramos "masa de probabilidad" sin la correspondiente función de "densidad de probabilidad").

Supongamos que tenemos una función $f(x)$ que aún no hemos nombrado pero sabemos que $\int_a^b f(x) dx$ da la probabilidad de que veamos un resultado entre $a$ y $b$ . ¿Cómo deberíamos llamar $f(x)$ ? ¿Cuáles son sus propiedades? Empecemos por sus unidades. Sabemos que, en general, las unidades en una integral definida $\int_a^b f(x) dx$ son las unidades de $f(x)$ veces las unidades de $dx$ . En nuestro entorno, la integral da una probabilidad, y $dx$ tiene unidades en digamos, longitud. Así que las unidades de $f(x)$ debe ser la probabilidad por unidad de longitud. Esto significa que $f(x)$ debe estar diciéndonos algo sobre cuánta probabilidad se concentra por unidad de longitud cerca de $x$ es decir, cómo denso la probabilidad es cercana a $x$ . Así que tiene sentido llamar a $f(x)$ una "función de densidad de probabilidad". (De hecho, una forma de ver $\int_a^b f(x) dx$ es que, si $f(x) \geq 0$ , $f(x)$ es siempre una función de densidad. Desde este punto de vista, la altura es densidad de área, el área es densidad de volumen, la velocidad es densidad de distancia, etc. Uno de mis colegas utiliza un enfoque como éste cuando habla de las aplicaciones de la integración en cálculo de segundo semestre).

Ahora que hemos nombrado $f(x)$ una función de densidad, ¿cómo deberíamos llamar a la función correspondiente en el entorno discreto? No es una función de densidad; sus unidades son la probabilidad y no la probabilidad por unidad de longitud. Entonces, ¿qué es? Bueno, cuando decimos "densidad" sin calificativo normalmente estamos hablando de "densidad de masa", y cuando integramos una función de densidad sobre un objeto obtenemos la masa de ese objeto. Teniendo esto en cuenta, la relación entre la función de probabilidad en el entorno continuo y la de la función de probabilidad en el entorno discreto es exactamente la de densidad a masa. Por tanto, "función de masa de probabilidad" es un término natural para aplicar a la función discreta correspondiente.

Answer 2

Las funciones de masa de probabilidad se utilizan para distribuciones discretas. Asigna una probabilidad a cada punto del espacio muestral. Mientras que la integral de una función de densidad de probabilidad da la probabilidad de que una variable aleatoria caiga dentro de algún intervalo.

Answer 3

La diferencia más básica entre la función de masa de probabilidad y la función de densidad de probabilidad es que la función de masa de probabilidad se concentra en un punto determinado, por ejemplo, si tenemos que encontrar una probabilidad de obtener un número 2. Entonces toda nuestra concentración está en el 2. Por lo tanto utilizamos pmf sin embargo en pdf nuestra concentración nuestra en el intervalo que está mintiendo. Por ejemplo $ -\infty <= X <= \infty $ . Recuerde siempre que lo discreto y lo continuo dependen del Alcance.

Answer 4

Si tenemos una función de distribución de probabilidad $F_X(x)$ entonces su función de densidad de probabilidad limita $-\infty$ a $+\infty$ $f_X(x) ~dx$ y es para variables continuas.

Y es función de masa de probabilidad es igual a $\sum xf(x)$ y es para variables discretas.